Uma matriz é dita idempotente se A^{2}=A. Mostre que cada uma das seguintes matrizes é idempotente:
\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{array}\right]
e pede para mostrar que ela é idempotente, ou seja, provar que
A^{2}=A.
As informações relevantes são apenas os elementos da matriz A: primeira linha (1,0) e segunda linha (1,0).]

Passo 2

Lembrando a definição e a regra de multiplicação:
  • Uma matriz A é idempotente se vale \,A^{2}=A.
  • Para multiplicar duas matrizes 2\times2,
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}e & f\\\ g & h\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh\\[4pt] ce+dg & cf+dh \end{pmatrix}.
Aqui cada entrada do produto é soma de produtos dos elementos correspondentes da linha pela coluna. Vou aplicar essa fórmula com A multiplicando A.]

Passo 3

Escrevo A em termos de suas entradas:
A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} \quad\text{onde}\quad a=1,\\ b=0,\\ c=1,\\ d=0.

Passo 4

Calculo a entrada (1,1) de A^{2} usando ae+bg (aqui e=a e g=c):
(A^{2})_{11}=a\cdot a + b\cdot c = 1\cdot1 + 0\cdot1 = 1+0 = 1.

Passo 5

Calculo a entrada (1,2) de A^{2} usando af+bh (aqui f=b e h=d):
(A^{2})_{12}=a\cdot b + b\cdot d = 1\cdot0 + 0\cdot0 = 0+0 = 0.

Passo 6

Calculo a entrada (2,1) de A^{2} usando ce+dg (aqui e=a e g=c):
(A^{2})_{21}=c\cdot a + d\cdot c = 1\cdot1 + 0\cdot1 = 1+0 = 1.

Passo 7

Calculo a entrada (2,2) de A^{2} usando cf+dh (aqui f=b e h=d):
(A^{2})_{22}=c\cdot b + d\cdot d = 1\cdot0 + 0\cdot0 = 0+0 = 0.

Passo 8

Juntando as entradas calculadas, obtenho
A^{2}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\[4pt] 1 & 0\end{array}\right].
Comparando com A dado, vemos que A^{2}=A. Portanto A é idempotente.]

Resposta

A^{2}=A

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