Uma matriz é dita idempotente se
. Mostre que cada uma das seguintes matrizes é idempotente:
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede para mostrar que ela é idempotente, ou seja, provar que
As informações relevantes são apenas os elementos da matriz
: primeira linha
e segunda linha
.]
Passo 2
Lembrando a definição e a regra de multiplicação:
- Uma matriz
é idempotente se vale . - Para multiplicar duas matrizes
,
Aqui cada entrada do produto é soma de produtos dos elementos correspondentes da linha pela coluna. Vou aplicar essa fórmula com
multiplicando
.]
Passo 3
Escrevo
em termos de suas entradas:
Passo 4
Calculo a entrada
de
usando
(aqui
e
):
Passo 5
Calculo a entrada
de
usando
(aqui
e
):
Passo 6
Calculo a entrada
de
usando
(aqui
e
):
Passo 7
Calculo a entrada
de
usando
(aqui
e
):
Passo 8
Juntando as entradas calculadas, obtenho
Comparando com
dado, vemos que
. Portanto
é idempotente.]