A matriz de Hilbert n \times n, H^{(n)}, definida por
H_{i j}^{(n)}=\frac{1}{i+j-1}, \quad i, j=1,2, \cdots, n
é um exemplo clássico de matriz mal condicionada.
a) Determine H^{(2)}, H^{(3)}, H^{(4)} e H^{(5)}
b) Calcule o condicionamento das matrizes do item anterior usando \|\cdot\|_{\infty}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de Hilbert de ordem n
H_{ij}^{(n)}=\frac{1}{i+j-1},\qquad i,j=1,\dots,n,
e pede duas coisas:
  • (a) determinar explicitamente H^{(2)}, H^{(3)}, H^{(4)} e H^{(5)};
  • (b) calcular o condicionamento de cada uma dessas matrizes usando a norma \|\cdot\|_{\infty}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula para os elementos da matriz (acima).
  • A norma a usar para o condicionamento é a norma infinito \|\cdot\|_{\infty}.

Passo 2

Construir as matrizes H^{(n)} usando a fórmula \displaystyle H_{ij}^{(n)}=\frac{1}{i+j-1}.
H^{(2)}=\begin{pmatrix} \frac{1}{1} & \frac{1}{2} \\[4pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} \\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}
H^{(3)}=\begin{pmatrix} \frac{1}{1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{3}\\[4pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4}\\[4pt] \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4}\\[4pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5} \end{pmatrix}
H^{(4)}=\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{6}\\[4pt] \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{7} \end{pmatrix}
H^{(5)}=\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{6}\\[4pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{7}\\[4pt] \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{7} & \tfrac{1}{8}\\[4pt] \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{7} & \tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{9} \end{pmatrix}]

Passo 3

Explicar o que é o condicionamento que vamos calcular e como calcular na prática.
  • Definição usada: para uma matriz invertível A, o número de condicionamento relativo na norma infinito é
\kappa_{\infty}(A)=\|A\|_{\infty}\,\|A^{-1}\|_{\infty}.
Aqui \|A\|_{\infty} é a norma infinito da matriz A, definida como o máximo da soma absoluta dos elementos de cada linha:
\|A\|_{\infty}=\max_{1\le i\le n}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|.
  • Interpretação prática: para calcular \kappa_{\infty}(A) precisamos de duas coisas: (i) calcular as somas das linhas de A e escolher a maior; (ii) inverter A e calcular as somas das linhas de A^{-1} e escolher a maior. O produto desses dois números é o condicionamento.
Observação sobre inversão: para matrizes pequenas é possível inverter por eliminação de Gauss; para as matrizes de Hilbert existem fórmulas explícitas para H^{(n)}{}^{-1} com entradas inteiras (os inversos têm entradas inteiras com sinais alternados). Para n=2 eu mostro a inversão por cálculo direto; para n=3,4,5 uso as inversas exatas conhecidas (resultado padrão em álgebra linear / tabelas) — isso evita contas longas e mantém exatidão.

Passo 4

Cálculo completo para n=2.
  • Norma infinito de H^{(2)}. As somas das linhas são:
    • linha 1: 1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
    • linha 2: \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{3}{6}+\tfrac{2}{6}=\tfrac{5}{6}=\tfrac{5}{6} (valor decimal 0{,}833\ldots).
      Logo
    \|H^{(2)}\|_{\infty}=\frac{3}{2}.
  • Inversa de H^{(2)}. Calcula-se o determinante
    \det(H^{(2)})=1\cdot\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{12}.
    A inversa é \dfrac{1}{\det} vezes a matriz adjunta:
    H^{(2)}{}^{-1}=\frac{1}{\tfrac{1}{12}} \begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{2} \\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} = 12\begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{2} \\[4pt] -\tfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -6 \\[4pt] -6 & 12 \end{pmatrix}.
  • Norma infinito de H^{(2)}{}^{-1}. Somando valores absolutos por linha:
    • linha 1: |4|+|-6|=4+6=10.
    • linha 2: |-6|+|12|=6+12=18.
      Logo
    \|H^{(2)}{}^{-1}\|_{\infty}=18.
  • Condicionamento:
    \kappa_{\infty}(H^{(2)})=\|H^{(2)}\|_{\infty}\,\|H^{(2)}{}^{-1}\|_{\infty}=\frac{3}{2}\cdot 18=27.]

Passo 5

Cálculo para n=3.
  • Norma infinito de H^{(3)}. Somando linhas:
    • linha 1: 1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{11}{6}.
    • linha 2: \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{13}{12}.
    • linha 3: \tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}=\tfrac{47}{60}.
      Então
    \|H^{(3)}\|_{\infty}=\frac{11}{6}.
  • Inversa de H^{(3)}. A inversa exata conhecida (pode ser obtida por eliminação de Gauss ou por fórmulas para a inversa de Hilbert) é
    H^{(3)}{}^{-1}= \begin{pmatrix} 9 & -36 & 30\\[4pt] -36 & 192 & -180\\[4pt] 30 & -180 & 180 \end{pmatrix}.
    (essas entradas são inteiras e alternam de sinal; é um fato padrão sobre inversos de Hilbert pequenos.)
  • Norma infinito de H^{(3)}{}^{-1}. Somando valores absolutos por linha:
    • linha 1: 9+36+30=75.
    • linha 2: 36+192+180=408.
    • linha 3: 30+180+180=390.
      Assim
    \|H^{(3)}{}^{-1}\|_{\infty}=408.
  • Condicionamento:
    \kappa_{\infty}(H^{(3)})=\frac{11}{6}\cdot 408.
    Calculando:
    408\cdot\frac{11}{6}=68\cdot11=748.]

Passo 6

Cálculo para n=4.
  • Norma infinito de H^{(4)}. Somando linhas:
    • linha 1: 1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{25}{12}.
    • as outras linhas são menores (valores decrescentes), logo
    \|H^{(4)}\|_{\infty}=\frac{25}{12}.
  • Inversa de H^{(4)}. A inversa exata conhecida é
    H^{(4)}{}^{-1}= \begin{pmatrix} 16 & -120 & 240 & -140\\[4pt] -120 & 1200 & -2700 & 1680\\[4pt] 240 & -2700 & 6480 & -4200\\[4pt] -140 & 1680 & -4200 & 2800 \end{pmatrix}.
  • Norma infinito de H^{(4)}{}^{-1}. Somando valores absolutos por linha:
    • linha 1: 16+120+240+140=516.
    • linha 2: 120+1200+2700+1680=5700.
    • linha 3: 240+2700+6480+4200=13620.
    • linha 4: 140+1680+4200+2800=8820.
      Logo
    \|H^{(4)}{}^{-1}\|_{\infty}=13620.
  • Condicionamento:
    \kappa_{\infty}(H^{(4)})=\frac{25}{12}\cdot 13620.
    Calculando:
    \frac{13620}{12}=1135,\qquad 1135\cdot25=28375.
    Portanto \kappa_{\infty}(H^{(4)})=28375.]

Passo 7

Cálculo para n=5.
  • Norma infinito de H^{(5)}. Somando linhas:
    • linha 1: 1+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{5}=\tfrac{137}{60}.
    • as demais linhas são menores, então
    \|H^{(5)}\|_{\infty}=\frac{137}{60}.
  • Inversa de H^{(5)}. A inversa exata conhecida é
    H^{(5)}{}^{-1}= \begin{pmatrix} 25 & -300 & 1050 & -1400 & 630\\[4pt] -300 & 4800 & -18900 & 26880 & -12600\\[4pt] 1050 & -18900 & 79380 & -117600 & 56700\\[4pt] -1400 & 26880 & -117600 & 179200 & -88200\\[4pt] 630 & -12600 & 56700 & -88200 & 44100 \end{pmatrix}.
  • Norma infinito de H^{(5)}{}^{-1}. Somando valores absolutos por linha:
    • linha 1: 25+300+1050+1400+630=3405.
    • linha 2: 300+4800+18900+26880+12600=63480.
    • linha 3: 1050+18900+79380+117600+56700=273630.
    • linha 4: 1400+26880+117600+179200+88200=413280.
    • linha 5: 630+12600+56700+88200+44100=202230.
      Assim
    \|H^{(5)}{}^{-1}\|_{\infty}=413280.
  • Condicionamento:
    \kappa_{\infty}(H^{(5)})=\frac{137}{60}\cdot 413280.
    Calculando:
    \frac{413280}{60}=6888,\qquad 6888\cdot137=943656.
    Portanto \kappa_{\infty}(H^{(5)})=943656.]

Resposta

(a)
H^{(2)}=\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} \\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix},\qquad H^{(3)}=\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4}\\[4pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5} \end{pmatrix},
H^{(4)}=\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{6}\\[4pt] \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{7} \end{pmatrix},\qquad H^{(5)}=\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{6}\\[4pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{7}\\[4pt] \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{7} & \tfrac{1}{8}\\[4pt] \tfrac{1}{5} & \tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{7} & \tfrac{1}{8} & \tfrac{1}{9} \end{pmatrix}
(b)
\kappa_{\infty}(H^{(2)})=27
\kappa_{\infty}(H^{(3)})=748
\kappa_{\infty}(H^{(4)})=28375
\kappa_{\infty}(H^{(5)})=943656

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