A matriz de Hilbert n \times n, H^{(n)}, definida por
H_{i j}^{(n)}=\frac{1}{i+j-1}, \quad i, j=1,2, \cdots, n
é um exemplo clássico de matriz mal condicionada.
a) Determine H^{(2)}, H^{(3)}, H^{(4)} e H^{(5)}
b) Calcule o condicionamento das matrizes do item anterior usando \|\cdot\|_{\infty}.
Interpretação prática: para calcular \kappa_{\infty}(A) precisamos de duas coisas: (i) calcular as somas das linhas de A e escolher a maior; (ii) inverter A e calcular as somas das linhas de A^{-1} e escolher a maior. O produto desses dois números é o condicionamento.
Observação sobre inversão: para matrizes pequenas é possível inverter por eliminação de Gauss; para as matrizes de Hilbert existem fórmulas explícitas para H^{(n)}{}^{-1} com entradas inteiras (os inversos têm entradas inteiras com sinais alternados). Para n=2 eu mostro a inversão por cálculo direto; para n=3,4,5 uso as inversas exatas conhecidas (resultado padrão em álgebra linear / tabelas) — isso evita contas longas e mantém exatidão.
Passo 4
Cálculo completo para n=2.
Norma infinito de H^{(2)}. As somas das linhas são:
linha 1: 1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
linha 2: \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{3}{6}+\tfrac{2}{6}=\tfrac{5}{6}=\tfrac{5}{6} (valor decimal 0{,}833\ldots).
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