O que é a matriz de Leontief, e como ela é utilizada para calcular o volume de produção necessário para atender a uma configuração específica de demanda final?
Passo 1
O que o enunciado pergunta:
Definir o que é a matriz de Leontief.
Explicar como ela é utilizada para calcular o volume de produção necessário para atender a uma configuração específica de demanda final.
Informações relevantes dadas (implícitas no pedido):
Existe uma matriz de coeficientes técnicos que relaciona insumos entre setores (chamarei de A).
Existe um vetor de demanda final (chamarei de y).
Queremos saber qual é o vetor de produção total x que satisfaz essa demanda final.
Passo 2
Apresentando o modelo básico (entrada do raciocínio) — variáveis e equação fundamental:
Seja x o vetor coluna de produção total dos setores. Cada componente x_i é a produção bruta do setor i.
Seja y o vetor coluna de demanda final. Cada componente y_i é a demanda final pelo produto do setor i (consumo, exportação, investimento etc.).
Seja A a matriz de coeficientes técnicos, cujo elemento \,a_{ij}\, representa a quantidade do bem do setor i necessária para produzir uma unidade do bem do setor j. Em palavras: a coluna j de A mostra os insumos diretos necessários para uma unidade de produção do setor j.
A equação de balanço de insumos e produção (equação fundamental do modelo de Leontief) é:
x = A x + y
Explicação dessa equação, passo a passo:
A x é o vetor de insumos intermediários totais demandados internamente pela economia quando se produz x — cada setor precisa de insumos de outros setores proporcionalmente à sua produção.
y é a demanda final que deve ser satisfeita.
O total produzido x é a soma do que é usado internamente A x e do que vai para a demanda final y.
Passo 3
Isolando x para encontrar uma fórmula prática:
Partimos de x = A x + y.
Subtraindo A x dos dois lados obtemos x - A x = y.
Fatorando x: (I - A) x = y,
onde I é a matriz identidade (mesma dimensão que A). Se a matriz (I - A) for invertível, multiplicamos por sua inversa e obtemos a solução fechada:
x = (I - A)^{-1} y.
Aqui é onde aparece a matriz de Leontief: definimos a matriz de Leontief L como a inversa de (I - A):
L = (I - A)^{-1}.
Assim, a produção necessária para satisfazer y é simplesmente x = L\, y.
Passo 4
Interpretação econômica da matriz de Leontief L:
Cada entrada l_{ij} de L mede a quantidade total (direta + indireta) do bem do setor i necessária para atender a uma unidade de demanda final do setor j.
“Direta” significa o insumo diretamente exigido por j; “indireta” significa insumos necessários para produzir os insumos diretos, e assim por diante.
Uma forma alternativa de ver L (quando a série converge) é como soma infinita de potências de A:
L = (I - A)^{-1} = I + A + A^2 + A^3 + \cdots,
desde que a série convir (isto ocorre se, por exemplo, o raio espectral de A for menor que 1). Nessa soma: I são as demandas diretas finais; A são os insumos diretos; A^2 os insumos indiretos de 2 níveis; e assim por diante.
Passo 5
Condições práticas e cautelas (o que checar no exame):
Verifique se (I - A) é invertível. Em termos econômicos, isso costuma exigir que a matriz A não seja “grande demais” (técnicamente, que o raio espectral de A seja menor que 1). Se (I-A) não for invertível, o modelo clássico não fornece solução única e bem comportada.
A deve ter entradas não negativas (coeficientes técnicos não negativos). Então, quando (I-A)^{-1} existir, L normalmente terá entradas não negativas (significando que unidades adicionais de demanda final aumentam positivamente a produção).
Em provas, para matrizes 2\times2 você pode calcular a inversa explicitamente usando a fórmula da inversa; para matrizes maiores, ou use cálculo algébrico (Gauss) ou softwares/ calculadora quando permitido.
Passo 6
Exemplo numérico detalhado (faça comigo, passo a passo):
Considere uma economia com dois setores e a matriz de coeficientes técnicos (peguei estes números como exemplo):
Interpretação (explicito): coluna 1 = insumos por unidade de produção do setor 1 (0,2 do setor 1 e 0,3 do setor 2); coluna 2 = insumos por unidade do setor 2 (0,1 do setor 1 e 0,4 do setor 2).
Como \det(I-A)=0,45\neq 0, a matriz é invertível.
3) Inversa de uma 2\times 2 é \dfrac{1}{\det}\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \end{pmatrix} para uma matriz \begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix}. Aplicando aqui:
Interpretação: o setor 1 deve produzir aproximadamente 144{,}44 e o setor 2 aproximadamente 155{,}56 para atender 100 e 50 de demanda final, respectivamente — porque essas produções cobrem tanto a demanda final quanto todos os insumos interindustriais diretos e indiretos.]
Passo 7
Outra intuição útil (direta + indireta):
A primeira coluna de L (no exemplo \begin{pmatrix}1,333\\[2pt]0,666\end{pmatrix}) diz: para 1 unidade de demanda final do setor 1 precisamos, no total, 1,333 da produção do setor 1 (inclui a própria 1 e o que é necessário indiretamente) e 0,666 da produção do setor 2.
Se você somar cada coluna de L obtém o multiplicador de produção agregado por unidade de demanda final daquele setor. Por exemplo, a soma da primeira coluna é 1,333 + 0,666 = 2: para 1 unidade de demanda final do setor 1 precisamos de 2 unidades de produção total na economia (direta + indireta).]
Passo 8
Dicas práticas para prova (passos para calcular sem erro):
Monte A corretamente: a_{ij} = insumo do setor i por unidade do setor j.
Calcule I-A.
Verifique se \det(I-A)\neq 0 (ou mais geral, se a inversa existe).
Calcule L=(I-A)^{-1} (use fórmula 2\times2 ou Gauss/Jordan para matrizes maiores).
Multiplique x = L y.
Interprete resultados: entradas de x são necessidades brutas; entradas de L são requisitos totais por unidade de demanda final.
Passo 9
Avisos finais e motivação:
Se você entender a derivação x = (I-A)^{-1} y e souber calcular inversa de matriz (pelo menos para 2\times2 e usar eliminação para 3\times3), você já resolve a maioria das questões de prova sobre Leontief.
Respira fundo: a ideia é simples — rearranjar a equação de balanço e multiplicar por (I-A)^{-1}. Se for pedido, explique também a interpretação em termos de cadeias de produção (direto + indireto). Você está no caminho certo!
Resposta
A matriz de Leontief é L=(I-A)^{-1}.
Para calcular o volume de produção necessário para uma dada demanda final y usa-se x = L\,y = (I-A)^{-1} y.