A partir de uma matriz insumo-produto, como é possível estimar o impacto de mudanças na demanda final sobre o nível de produção e emprego?
Passo 1
O que o enunciado pede: a partir de uma matriz insumo‑produto, estimar como uma mudança na demanda final altera (1) o nível de produção setorial e (2) o nível de emprego (setorial e total).
Informações/entradas que a questão pressupõe que estão disponíveis na matriz insumo‑produto (ou que precisamos ter):
Informações/entradas que a questão pressupõe que estão disponíveis na matriz insumo‑produto (ou que precisamos ter):
- A matriz de transações entre setores
, onde é o valor das vendas do setor para o setor . - O vetor de produção total por setor
, com componentes . - O vetor de demanda final
(ou a variação da demanda final que queremos analisar). - Um vetor de coeficientes de emprego por unidade de produção
(por exemplo, empregos por unidade monetária de produção em cada setor).
Observação: se algum desses elementos (por exemplo) não estiver explicitado, ainda podemos mostrar a metodologia geral; na prática o vetor costuma vir de contas-satélite (emprego dividido por produção setorial).
Passo 2
Como obter a matriz de coeficientes técnicos
a partir da matriz de transações
e do vetor
.
Definição: o elemento de
é a quantidade do insumo do setor
necessária por unidade de produção do setor
. A fórmula é
Definição: o elemento
Em notação matricial:
onde
é a matriz diagonal com os
na diagonal.
Explicação didática: pense em como “quantos reais do setor
o setor
precisa para produzir 1 real do seu produto”. Se
há problema prático — normalmente eliminamos setores com produção nula ou tratamos separadamente.
Explicação didática: pense em
Passo 3
Equação básica de equilíbrio da produção (Leontief) e como é obtida a relação com a demanda final.
A identidade contábil é
A identidade contábil é
onde
é o vetor de produção total e
é o vetor de demanda final (consumo, investimento, exportações, etc.). Rearranjando:
Assumindo que
é invertível, isolamos
:
Explicação das letras:
-
é a matriz identidade. -
é a chamada matriz inversa de Leontief, que captura efeitos diretos e indiretos.
Interpretação prática: um aumento unitário na demanda final do setorimplica que a coluna da matriz dá quanto de produção adicional em cada setor é necessária (direto + indireto) para suprir esse aumento.
Passo 4
Como calcular a variação de produção quando a demanda final muda.
Se a demanda final sofre uma variação , a variação resultante na produção
(pela linearidade do modelo) é
Se a demanda final sofre uma variação
Notação: defina
(matriz de Leontief). Então
Dica prática na prova: calcule
primeiro, depois
, em seguida a inversa
(em problemas numéricos pequenos você faz inversão 2×2 ou 3×3 passo a passo; em provas maiores pode pedir propriedades ou multiplicadores). Cada componente
é o aumento de produção no setor
.
Passo 5
Interpretação dos elementos da matriz de Leontief
.
-
= produção total adicional no setor (direta + indireta) necessária para atender 1 unidade adicional de demanda final no setor . - A soma da coluna
de dá o incremento de produção total em toda a economia por unidade de demanda final adicional no setor .
Esses números são os chamados multiplicadores de output.
Passo 6
Como passar de variação de produção para variação de emprego (setorial e total).
Defina o vetor de coeficientes de emprego , onde
é o número de empregos por unidade de produção no setor
. Então:
Defina o vetor de coeficientes de emprego
- Variação de emprego em cada setor (vetor) é
ou seja,
.
- Variação total de emprego (escala agregada) é
onde
é o vetor linha transposto. Em alternativa,
Interpretação:
dá o número de empregos totais gerados por uma unidade adicional de demanda final no setor
— esse é o multiplicador de emprego do setor
.
Passo 7
Resumo das fórmulas úteis que você deve memorizar para a prova (e o que cada símbolo significa):
-
com elementos . - Leontief:
- Variação de produção:
- Variação de emprego setorial:
- Variação de emprego total:
Passo 8
Exemplo numérico pequeno (ilustrativo) — faço passo a passo para ficar bem claro. Suponha que, da tabela, obtemos
- Calcule
:
- Inverta
. Para usamos a fórmula. Determinante:
Matriz inversa
:
- Variação de produção
. Calculando:
Logo
- Variação de emprego setorial
:
- Variação total de emprego:
Isso confirma que aplicar
a
dá o mesmo resultado:
.]
Passo 9
Limitações e cuidados práticos (o que mencionar na prova se pedirem robustez):
- O modelo é linear e usa coeficientes técnicos fixos: não captura substituições entre insumos quando preços mudam.
- Não considera capacidade produtiva nem gargalos; para grandes choques, os resultados podem superestimar.
- Importações: se a matriz inclui insumos importados, parte do efeito vaza para fora do país — para estimar impacto doméstico use matriz de coeficientes domésticos (ou subtraia importações intermediárias).
- Definição de unidade: se as variáveis estão em milhões, lembre-se de converter coeficientes de emprego para a mesma unidade monetária.
- Preferível usar contas‑satélite de emprego mais detalhadas (e.g. por ocupação, remuneração) se quiser medir qualidade do emprego.
Passo 10
Como apresentar na prova (resumindo o raciocínio lógico em 3 linhas):
- Construa
via . - Calcule
e obtenha . - Converta em empregos com
e .
Força aí — o fluxo é sempre o mesmo; memoriza essas fórmulas e pratica um exemplo 2×2 na prova que você arrasa!