A partir de uma matriz insumo-produto, como é possível estimar o impacto de mudanças na demanda final sobre o nível de produção e emprego?

Passo 1

O que o enunciado pede: a partir de uma matriz insumo‑produto, estimar como uma mudança na demanda final altera (1) o nível de produção setorial e (2) o nível de emprego (setorial e total).
Informações/entradas que a questão pressupõe que estão disponíveis na matriz insumo‑produto (ou que precisamos ter):
  • A matriz de transações entre setores Z, onde z_{ij} é o valor das vendas do setor i para o setor j.
  • O vetor de produção total por setor x, com componentes x_j.
  • O vetor de demanda final f (ou a variação da demanda final \Delta f que queremos analisar).
  • Um vetor de coeficientes de emprego por unidade de produção e (por exemplo, empregos por unidade monetária de produção em cada setor).
    Observação: se algum desses elementos (por exemplo e) não estiver explicitado, ainda podemos mostrar a metodologia geral; na prática o vetor e costuma vir de contas-satélite (emprego dividido por produção setorial).

Passo 2

Como obter a matriz de coeficientes técnicos A a partir da matriz de transações Z e do vetor x.
Definição: o elemento a_{ij} de A é a quantidade do insumo do setor i necessária por unidade de produção do setor j. A fórmula é
a_{ij}=\frac{z_{ij}}{x_j}.
Em notação matricial:
A = Z \, \text{diag}(x)^{-1},
onde \text{diag}(x) é a matriz diagonal com os x_j na diagonal.
Explicação didática: pense em a_{ij} como “quantos reais do setor i o setor j precisa para produzir 1 real do seu produto”. Se x_j=0 há problema prático — normalmente eliminamos setores com produção nula ou tratamos separadamente.

Passo 3

Equação básica de equilíbrio da produção (Leontief) e como é obtida a relação com a demanda final.
A identidade contábil é
x = A x + f,
onde x é o vetor de produção total e f é o vetor de demanda final (consumo, investimento, exportações, etc.). Rearranjando:
(I-A)x = f.
Assumindo que I-A é invertível, isolamos x:
x = (I-A)^{-1} f.
Explicação das letras:
  • I é a matriz identidade.
  • (I-A)^{-1} é a chamada matriz inversa de Leontief, que captura efeitos diretos e indiretos.
    Interpretação prática: um aumento unitário na demanda final do setor j implica que a coluna j da matriz (I-A)^{-1} dá quanto de produção adicional em cada setor é necessária (direto + indireto) para suprir esse aumento.

Passo 4

Como calcular a variação de produção quando a demanda final muda.
Se a demanda final sofre uma variação \Delta f, a variação resultante na produção \Delta x (pela linearidade do modelo) é
\Delta x = (I-A)^{-1} \, \Delta f.
Notação: defina L := (I-A)^{-1} (matriz de Leontief). Então
\Delta x = L \, \Delta f.
Dica prática na prova: calcule A primeiro, depois I-A, em seguida a inversa L (em problemas numéricos pequenos você faz inversão 2×2 ou 3×3 passo a passo; em provas maiores pode pedir propriedades ou multiplicadores). Cada componente \Delta x_i é o aumento de produção no setor i.

Passo 5

Interpretação dos elementos da matriz de Leontief L.
  • L_{ij} = produção total adicional no setor i (direta + indireta) necessária para atender 1 unidade adicional de demanda final no setor j.
  • A soma da coluna j de L dá o incremento de produção total em toda a economia por unidade de demanda final adicional no setor j.
    Esses números são os chamados multiplicadores de output.

Passo 6

Como passar de variação de produção para variação de emprego (setorial e total).
Defina o vetor de coeficientes de emprego e, onde e_i é o número de empregos por unidade de produção no setor i. Então:
  • Variação de emprego em cada setor (vetor) é
\Delta \ell = \operatorname{diag}(e)\,\Delta x,
ou seja, \Delta \ell_i = e_i \,\Delta x_i.
  • Variação total de emprego (escala agregada) é
\Delta L = e^{T} \,\Delta x,
onde e^{T} é o vetor linha transposto. Em alternativa,
\Delta L = e^{T} L \,\Delta f.
Interpretação: (e^{T}L)_j dá o número de empregos totais gerados por uma unidade adicional de demanda final no setor j — esse é o multiplicador de emprego do setor j.

Passo 7

Resumo das fórmulas úteis que você deve memorizar para a prova (e o que cada símbolo significa):
  • A com elementos a_{ij}=\dfrac{z_{ij}}{x_j}.
  • Leontief: \;x = (I-A)^{-1} f.
  • Variação de produção: \;\Delta x = (I-A)^{-1}\Delta f = L\,\Delta f.
  • Variação de emprego setorial: \;\Delta \ell = \operatorname{diag}(e)\,\Delta x.
  • Variação de emprego total: \;\Delta L = e^{T}\Delta x = e^{T}L\,\Delta f.

Passo 8

Exemplo numérico pequeno (ilustrativo) — faço passo a passo para ficar bem claro. Suponha que, da tabela, obtemos
A=\begin{pmatrix}0,2 & 0,1\\[4pt] 0,3 & 0,1\end{pmatrix}, \qquad \Delta f=\begin{pmatrix}10\\[4pt] 5\end{pmatrix}, \qquad e=\begin{pmatrix}0,5\\[4pt] 0,2\end{pmatrix}.
  1. Calcule I-A:
I-A=\begin{pmatrix}0,8 & -0,1\\[4pt] -0,3 & 0,9\end{pmatrix}.
  1. Inverta I-A. Para 2\times2 usamos a fórmula. Determinante:
\det(I-A)=0,8\cdot0,9-(-0,1)(-0,3)=0,72-0,03=0,69.
Matriz inversa L=(I-A)^{-1}:
L=\frac{1}{0,69}\begin{pmatrix}0,9 & 0,1\\[4pt] 0,3 & 0,8\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}1,3043 & 0,1449\\[4pt] 0,4348 & 1,1594\end{pmatrix}.
  1. Variação de produção \Delta x = L\,\Delta f. Calculando:
\Delta x_1 \approx 1,3043\cdot10 + 0,1449\cdot5 = 13,043 + 0,7246 = 13,7681,
\Delta x_2 \approx 0,4348\cdot10 + 1,1594\cdot5 = 4,348 + 5,797 = 10,1449.
Logo
\Delta x \approx \begin{pmatrix}13,7681\\[4pt] 10,1449\end{pmatrix}.
  1. Variação de emprego setorial \Delta\ell=\operatorname{diag}(e)\Delta x:
\Delta\ell_1 = 0,5\cdot13,7681 \approx 6,8841,\qquad \Delta\ell_2 = 0,2\cdot10,1449 \approx 2,0290.
  1. Variação total de emprego:
\Delta L = e^{T}\Delta x \approx 6,8841+2,0290 = 8,9131\\ \text{empregos}.
Isso confirma que aplicar e^{T}L a \Delta f dá o mesmo resultado: e^{T}L\Delta f \approx 8,9131.]

Passo 9

Limitações e cuidados práticos (o que mencionar na prova se pedirem robustez):
  • O modelo é linear e usa coeficientes técnicos fixos: não captura substituições entre insumos quando preços mudam.
  • Não considera capacidade produtiva nem gargalos; para grandes choques, os resultados podem superestimar.
  • Importações: se a matriz inclui insumos importados, parte do efeito vaza para fora do país — para estimar impacto doméstico use matriz de coeficientes domésticos (ou subtraia importações intermediárias).
  • Definição de unidade: se as variáveis estão em milhões, lembre-se de converter coeficientes de emprego para a mesma unidade monetária.
  • Preferível usar contas‑satélite de emprego mais detalhadas (e.g. por ocupação, remuneração) se quiser medir qualidade do emprego.

Passo 10

Como apresentar na prova (resumindo o raciocínio lógico em 3 linhas):
  1. Construa A via a_{ij}=z_{ij}/x_j.
  2. Calcule L=(I-A)^{-1} e obtenha \Delta x = L\,\Delta f.
  3. Converta em empregos com \Delta\ell=\operatorname{diag}(e)\,\Delta x e \Delta L = e^{T}\Delta x.
    Força aí — o fluxo é sempre o mesmo; memoriza essas fórmulas e pratica um exemplo 2×2 na prova que você arrasa!

Resposta

\Delta x = (I-A)^{-1}\,\Delta f\newline
\Delta \ell = \operatorname{diag}(e)\,\Delta x\newline
\Delta L = e^{T}\,\Delta x = e^{T}(I-A)^{-1}\,\Delta f

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