Se a matriz de mudança de uma base \alpha de \mathbb{R}^{2} para a base \beta= \{(1,1),(0,2)\} é \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 2 & 3\end{array}\right], determine a base \alpha.

Passo 1

O enunciado dá a base \beta=\{(1,1),(0,2)\} de \mathbb{R}^2 e afirma que a matriz de mudança de uma base \alpha para \beta é
M = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix}.
Queremos determinar a base \alpha.

Passo 2

Denotemos \alpha = \{v_1,v_2\}. Por definição, a matriz M tem como colunas as coordenadas de v_1 e v_2 na base \beta, ou seja
M = \bigl[\, [v_1]_\beta \;\; [v_2]_\beta \bigr].

Passo 3

Da matriz
M = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 2 & 3\end{pmatrix}
vemos que
[v_1]_\beta = \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad [v_2]_\beta = \begin{pmatrix}0\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Como \beta=\{\,\beta_1=(1,1),\,\beta_2=(0,2)\}, temos
v_1 = 1\cdot\beta_1 + 2\cdot\beta_2 = 1\,(1,1) + 2\,(0,2) = (1,\,1+4) = (1,5).

Passo 5

De modo análogo,
v_2 = 0\cdot\beta_1 + 3\cdot\beta_2 = 0\,(1,1) + 3\,(0,2) = (0,\,6) = (0,6).

Resposta

\alpha = \{(1,5),\,(0,6)\}

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