Sejam \alpha a base canônica, \beta=\{(-1,1),(1,1)\} e \gamma=\{(2,0),(0,2)\} bases de \mathbb{R}^{2}. Se [v]_{\beta}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 3\end{array}\right], determine [v]_{\alpha} e [v]_{\gamma}.

Passo 1

O enunciado dá três bases de \mathbb{R}^2: a base canônica \alpha, a base \beta=\{b_1,b_2\} com
b_1 = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix},\quad b_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}
e a base \gamma=\{g_1,g_2\} com
g_1 = \begin{pmatrix}2\\\ 0\end{pmatrix},\quad g_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 2\end{pmatrix}.
Sabemos que as coordenadas de v em relação a \beta são
[v]_{\beta} = \begin{pmatrix}-1\\\ 3\end{pmatrix}.
Queremos encontrar as coordenadas de v nas bases \alpha e \gamma.

Passo 2

Para obter [v]_{\alpha} usamos a definição de coordenadas em \beta:
v \;=\;-1\,b_1 + 3\,b_2.
Substituindo b_1 e b_2:
v = -1\begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\\ 2\end{pmatrix}.
Como na base canônica \alpha o vetor é ele próprio, segue
[v]_{\alpha} = \begin{pmatrix}4\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 3

Para determinar [v]_{\gamma} escrevemos
v = a\,g_1 + b\,g_2 = a\begin{pmatrix}2\\\ 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2a\\\ 2b\end{pmatrix}.
Queremos que \begin{pmatrix}2a\\\ 2b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\\ 2\end{pmatrix}, logo
2a = 4 \quad\Rightarrow\quad a = 2, \qquad 2b = 2 \quad\Rightarrow\quad b = 1.
Portanto,
[v]_{\gamma} = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

[v]_{\alpha} = \begin{pmatrix}4\\\ 2\end{pmatrix}
[v]_{\gamma} = \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}

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