a) O que é matriz ortogonal? b) Dê um exemplo $2 \times 2$ e verifique.

O enunciado pede para definirmos o que é matriz ortogonal e apresentar um exemplo

2\times2

, verificando a propriedade. O conteúdo envolve matrizes quadradas, transposta e inversa.

Uma matriz

A\in\mathbb{R}^{n\times n}

é ortogonal se ela satisfaz

A^T A = I_n,

onde

A^T

é a transposta de

A

I_n

é a matriz identidade de ordem

n

. Isso implica também que

A^{-1} = A^T.

Escolhemos como exemplo a matriz de rotação de

90^\circ

A = \begin{pmatrix}0 & -1\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}.

Sua transposta é

A^T = \begin{pmatrix}0 & 1\\[6pt]-1 & 0\end{pmatrix}.

]

Verificamos o produto

A^T A

A^T A = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix} = I_2.

Como

A^T A = I_2

, concluímos que

A

é ortogonal.]

a) Uma matriz

A\in\mathbb{R}^{n\times n}

é ortogonal se

A^T A = I_n,

ou seja,

A^{-1}=A^T

.
b) Por exemplo,

A = \begin{pmatrix}0 & -1\\\ 1 & 0\end{pmatrix}

é ortogonal, pois

A^T A = I_2.

a) O que é matriz ortogonal? b) Dê um exemplo 2 \times 2 e verifique.