Aplique o Teorema de Stokes para calcular

$\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}$

sendo $\vec{F}(x, y, z)=3 z \vec{i}+5 x \vec{j}-2 y \vec{k}$ e C, a curva intersecção do plano $z=y+3$ com o cilindro $x^{2}+y^{2}=1$ , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

O enunciado pede

\int_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r

onde

\mathbf F(x,y,z)=(3z,5x,-2y)

C

é a curva de interseção do cilindro

x^2+y^2=1

com o plano

z=y+3

, orientada anti-horário vista de cima.
Vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz

\int_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r \;=\;\iint_{S}(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS,

onde

S

é qualquer superfície com fronteira

C

\mathbf n

é o vetor normal compatível com a orientação de

C

Calculamos o rotacional de

\mathbf F

. Escrevendo

\mathbf F=(P,Q,R)

com

P=3z

Q=5x

R=-2y

, temos

\nabla\times\mathbf F =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr) =(-2-0,\;3-0,\;5-3) =(-2,\,3,\,2).

Parametrizamos a parte do plano

z=y+3

sobre o disco

D:\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}

por

\mathbf r(x,y)=(x,\;y,\;y+3),\quad (x,y)\in D.

Então

\mathbf r_x=(1,0,0)

\mathbf r_y=(0,1,1)

,
e o vetor área orientado é

\mathbf N=\mathbf r_x\times\mathbf r_y=(1,0,0)\times(0,1,1)=(0,-1,1).

Note que

\mathbf N

tem componente

z

positiva, o que garante que

C

fique orientada anti-horário vista de cima.

Avaliamo,s o ponto-a-ponto o produto escalar

(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf N =(-2,3,2)\cdot(0,-1,1) =-2\cdot0+3\cdot(-1)+2\cdot1 =-3+2 =-1.

Pela forma paramétrica,

dS=\|\mathbf N\|\,dA

mas como já usamos

\mathbf N

no integrando, basta

\iint_{S}(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS =\iint_{D}(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf N\,dA =\iint_{D}(-1)\,dA =-1\cdot\text{Área}(D).Á

D

é o disco de raio

1

, logo

\text{Área}(D)=\piÁ

\int_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r = -\pi.

Aplique o Teorema de Stokes para calcular \int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r} sendo \vec{F}(x, y, z)=3 z \vec{i}+5 x \vec{j}-2 y \vec{k} e C, a curva intersecção do plano z=y+3 com o cilindro x^{2}+y^{2}=1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.