Uma matriz quadrada 
  diz-se nilpotente se existe 
  tal que 
 , e o menor número natural 
  tal que 
  é chamado de índice de nilpotência de 
 . Mostre que 
  é nilpotente de índice 3. Onde 
A^p=underbraceA cdot A ldots AP   vezes   .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma matriz quadrada 
  e queremos mostrar que ela é nilpotente com índice de nilpotência igual a 3. Ou seja, precisamos provar que 
  (a matriz nula) e que nenhum expoente menor que 3 satisfaz essa condição. Para isso, vamos calcular 
  e 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular 
 A =  -2 & -10 & 4  -2 & -4 & 2  -6 & -12 & 6    , que é a matriz 
 A^2 = A cdot A =  -2 & -10 & 4  -2 & -4 & 2  -6 & -12 & 6  cdot  -2 & -10 & 4  -2 & -4 & 2  -6 & -12 & 6     multiplicada por ela mesma. A multiplicação de matrizes envolve multiplicar as linhas de 
 A^2 =  (-2)(-2) + (-10)(-2) + (4)(-6) & (-2)(-10) + (-10)(-4) + (4)(-12) & (-2)(4) + (-10)(2) + (4)(6)  (-2)(-2) + (-4)(-2) + (2)(-6) & (-2)(-10) + (-4)(-4) + (2)(-12) & (-2)(4) + (-4)(2) + (2)(6)  (-6)(-2) + (-12)(-2) + (6)(-6) & (-6)(-10) + (-12)(-4) + (6)(-12) & (-6)(4) + (-12)(2) + (6)(6)     pelas colunas de 
 A^2 =  4 + 20 - 24 & 20 + 40 - 48 & -8 -20 + 24  4 + 8 - 12 & 20 + 16 - 24 & -8 -8 + 12  12 + 24 - 36 & 60 + 48 - 72 & -24 -24 + 36    .
A matriz 
 A^2 =  0 & 12 & -4  0 & 12 & -4  0 & 36 & -12     é:
Vamos multiplicar 
  por 
 :
Calculando cada elemento de 
 :
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular 
 A^3 = A^2 cdot A =  0 & 12 & -4  0 & 12 & -4  0 & 36 & -12  cdot  -2 & -10 & 4  -2 & -4 & 2  -6 & -12 & 6    , que é 
 A^3 =  (0)(-2) + (12)(-2) + (-4)(-6) & (0)(-10) + (12)(-4) + (-4)(-12) & (0)(4) + (12)(2) + (-4)(6)  (0)(-2) + (12)(-2) + (-4)(-6) & (0)(-10) + (12)(-4) + (-4)(-12) & (0)(4) + (12)(2) + (-4)(6)  (0)(-2) + (36)(-2) + (-12)(-6) & (0)(-10) + (36)(-4) + (-12)(-12) & (0)(4) + (36)(2) + (-12)(6)     multiplicado por 
 A^3 =  0 - 24 + 24 & 0 - 48 + 48 & 0 + 24 - 24  0 - 24 + 24 & 0 - 48 + 48 & 0 + 24 - 24  0 - 72 + 72 & 0 - 144 + 144 & 0 + 72 - 72    :
Calculando cada elemento de 
 :
Simplificando:
Resposta
A matriz 
  é nilpotente de índice 3, pois 
  e nenhum expoente menor satisfaz essa condição.