Mostre que se 
  é uma matriz invertível e se 
 , então 
 . (sugestão: multiplique a equação 
  por 
  )
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos diz que temos duas matrizes, 
  e 
 , onde 
  é invertível (ou seja, existe uma matriz 
  tal que 
 , sendo 
  a matriz identidade). Além disso, sabemos que 
  e 
  comutam, ou seja, 
 . Nosso objetivo é mostrar que 
 . Para isso, vamos usar propriedades de matrizes invertíveis e comutatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos pegar a equação que sabemos: 
 . Como 
  é invertível, podemos multiplicar ambos os lados dessa equação por 
 . Mas onde multiplicar? Vamos escolher multiplicar pela direita, ou seja, multiplicar tudo por 
  à direita.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação por 
 , temos:
Sabemos que 
 , então simplificamos:
Passo 4
Simplificando a esquerda da equação:
Como qualquer matriz multiplicada pela identidade 
  permanece igual, temos:
Passo 5
Agora, queremos isolar 
 . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 
  novamente, mas desta vez pela esquerda:
Sabemos que 
 , então:
Passo 6
Simplificando a direita da equação:
E, novamente, qualquer matriz multiplicada pela identidade permanece igual:
Resposta
Assim, mostramos que 
 .