Uma matriz quadrada
de ordem
é dita idempotente se
.
a) Mostre que
é idempotente.
b) Mostre que se
, então
e
são idempotentes.
a) Mostre que
b) Mostre que se
Passo 1
O enunciado define uma matriz quadrada
como idempotente se
Na parte (a) precisamos verificar diretamente que
satisfaz
.
Na parte (b) temos duas matrizes e
tais que
Na parte (b) temos duas matrizes
e queremos mostrar que cada uma delas é idempotente, ou seja,
e
.
Passo 2
Para a parte (a), usamos a definição: uma matriz
é idempotente se
Logo, basta calcular
. Lembrando que o produto de matrizes é dado por
vamos computar cada entrada.
Passo 3
Calculando
:
Para a primeira linha e primeira coluna:
De modo análogo, computamos todas as entradas e obtemos
Portanto
, isto é,
é idempotente.
Passo 4
Agora a parte (b). Temos
Para mostrar que
é idempotente, basta manipular essas igualdades apropriadamente.
Passo 5
Mostrar
. Partimos de
e multiplicamos à esquerda por
:
No lado esquerdo associe como
. Então
Mas
, logo
Isto prova que
é idempotente.
Passo 6
Mostrar
. Partimos de
e multiplicamos à direita por
:
No lado esquerdo associe como
. Então
Mas
, logo
E como
por hipótese, segue
Portanto
também é idempotente.
Resposta
a) De fato
, então
é idempotente.
b) Daí que e
, ou seja,
e
são idempotentes.
b) Daí que