Uma matriz quadrada A de ordem n é dita idempotente se A^{2}=A.
a) Mostre que
A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -2 & -4 \\\\ -1 & 3 & 4 \\\\ 1 & -2 & -3 \end{array}\right)_{3 \times 3}
é idempotente.
b) Mostre que se A B=A, B A=B, então A e B são idempotentes.

Passo 1

O enunciado define uma matriz quadrada A como idempotente se
A^{2}=A.
Na parte (a) precisamos verificar diretamente que
A=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -4\\\\ -1 & 3 & 4\\\\ 1 & -2 & -3 \end{pmatrix}
satisfaz A^2=A.
Na parte (b) temos duas matrizes A e B tais que
AB = A \quad\text{e}\quad BA = B,
e queremos mostrar que cada uma delas é idempotente, ou seja, A^2=A e B^2=B.

Passo 2

Para a parte (a), usamos a definição: uma matriz A é idempotente se
A^2 = A.
Logo, basta calcular A^2. Lembrando que o produto de matrizes é dado por
(A^2)_{ij} = \sum_{k=1}^3 A_{ik}\,A_{kj},
vamos computar cada entrada.

Passo 3

Calculando A^2:
A^2 = A\cdot A =\begin{pmatrix} 2 & -2 & -4\\\\ -1 & 3 & 4\\\\ 1 & -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -2 & -4\\\\ -1 & 3 & 4\\\\ 1 & -2 & -3 \end{pmatrix}.
Para a primeira linha e primeira coluna:
( A^2 )_{11} =2\cdot2 +(-2)\cdot(-1)+(-4)\cdot1 =4+2-4=2.
De modo análogo, computamos todas as entradas e obtemos
A^2 =\begin{pmatrix} 2 & -2 & -4\\\\ -1 & 3 & 4\\\\ 1 & -2 & -3 \end{pmatrix} = A.
Portanto A^2=A, isto é, A é idempotente.

Passo 4

Agora a parte (b). Temos
AB = A \quad\text{e}\quad BA = B.
Para mostrar que B é idempotente, basta manipular essas igualdades apropriadamente.

Passo 5

Mostrar B^2=B. Partimos de AB=A e multiplicamos à esquerda por B:
B\,(AB) = B\,A.
No lado esquerdo associe como (BA)B. Então
(BA)\,B = BA.
Mas BA=B, logo
B\,B = B \quad\Longrightarrow\quad B^2 = B.
Isto prova que B é idempotente.

Passo 6

Mostrar A^2=A. Partimos de AB=A e multiplicamos à direita por A:
(AB)\,A = A\,A.
No lado esquerdo associe como A\,(BA). Então
A\,(BA) = A^2.
Mas BA=B, logo
A\,B = A^2.
E como AB=A por hipótese, segue
A^2 = A.
Portanto A também é idempotente.

Resposta

a) De fato A^2=A, então A é idempotente.
b) Daí que A^2=A e B^2=B, ou seja, A e B são idempotentes.

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