(a) Se 
  é uma matriz retângular, tal que 
  é invertível, verifique que a matriz 
  é uma inversa à esquerda de 
 .
(b) Se 
  é uma matriz retângular, tal que 
  é invertível, verifique que a matriz 
  é uma inversa à direita de 
 .
© Se possível, determine uma matriz inversa à esquerda de 
 .
(b) Se
© Se possível, determine uma matriz inversa à esquerda de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos uma matriz 
  que pode ser retangular, ou seja, não precisa ser quadrada. Nos três itens (a), (b) e ©, a gente vai explorar as condições para que certas matrizes sejam inversas à esquerda ou à direita de 
 . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes transpostas, inversas e como elas se comportam quando multiplicadas. Vamos nessa!
Passo 2
Item (a)
O que precisa mostrar: Se 
  é invertível, então a matriz 
  é uma inversa à esquerda de 
 .
Como resolver:
Para provar que  é uma inversa à esquerda de 
 , precisamos mostrar que 
 , onde 
  é a matriz identidade.
Para provar que
Passo a passo:
- Escrevemos 
 . - Observamos que 
 multiplicado por seu inverso resulta na matriz identidade . - Portanto, 
 . 
Conclusão: 
  realmente é uma inversa à esquerda de 
 .
Passo 3
Item (b)
O que precisa mostrar: Se 
  é invertível, então a matriz 
  é uma inversa à direita de 
 .
Como resolver:
Para provar que  é uma inversa à direita de 
 , precisamos mostrar que 
 .
Para provar que
Passo a passo:
- Calculamos 
 . - Novamente, vemos que 
 multiplicado por seu inverso dá a identidade . - Assim, 
 . 
Conclusão: 
  é de fato uma inversa à direita de 
 .
Passo 4
Item ©
O que precisa fazer: Determinar uma matriz inversa à esquerda de 
 A =  1 & 2  -1 & 0  2 & 2  1 & -1    , onde:
Como resolver:
Primeiro, precisamos verificar se =  1 + 1 + 4 + 1 & 2 + 0 + 4 -1  2 + 0 + 4 -1 & 4 + 0 + 4 +1  =  7 & 5  5 & 9     é invertível, já que se for, podemos usar o item (a) para encontrar a inversa à esquerda.
Primeiro, precisamos verificar se
Passo a passo:
- Calculamos 
 :det(A^t A) = (7)(9) - (5)(5) = 63 - 25 = 38 neq 0  
- Verificamos se 
 é invertível calculando seu determinante:B = 138 9 & -5 -5 & 7 1 & -1 & 2 & 1 2 & 0 & 2 & -1  
Como o determinante é diferente de zero, 
 = 138  9 -10 & -9 +0 & 18 -10 & 9 +5  -5 +14 & 5 +0 & -10 +14 & -5 -7  = 138  -1 & -9 & 8 & 14  9 & 5 & 4 & -12     é invertível.
- Agora, usamos a fórmula do item (a) para encontrar a inversa à esquerda 
 :B = 138 -1 & -9 & 8 & 14 9 & 5 & 4 & -12  
- Calculamos 
 . Para uma matriz : 
- Multiplicamos 
 por : 
- Realizamos a multiplicação:
 
Conclusão: A matriz inversa à esquerda de 
  é:
Resposta
(a) A matriz 
 B = 138  -1 & -9 & 8 & 14  9 & 5 & 4 & -12     é uma inversa à esquerda de 
 .
(b) A matriz 
  é uma inversa à direita de 
 .
© Uma inversa à esquerda de 
  é: