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O conjunto 
  dos polinômios 
  de grau 
  com coeficientes em 
 , em relação às operações usuais de adição e multiplicação de escalar de polinômios, é um subespaço do espaço vetorial de todas as funções de 
 .
O conjunto
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem o conjunto 
 , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 
  com coeficientes reais. A questão quer saber se esse conjunto, considerando as operações comuns de adição de polinômios e multiplicação por escalar, forma um subespaço vetorial dentro do espaço de todas as funções de 
  para 
 . Para resolver isso, vamos precisar revisar o que define um subespaço vetorial e verificar se 
  satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores, onde a gente pode fazer operações de adição e multiplicação por escalar, e essas operações obedecem a algumas regras específicas (como associatividade, existência de elemento neutro, etc.). Um subespaço é simplesmente um subconjunto desse espaço vetorial que também é um espaço vetorial por si só.
Passo 3
Para provar que 
  é um subespaço, precisamos verificar três coisas:
- Não-vazio: O conjunto não está vazio.
 - Fechado sob a adição: Se você pegar dois polinômios no conjunto e somar, o resultado ainda está no conjunto.
 - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar um polinômio no conjunto e multiplicar por um escalar, o resultado ainda está no conjunto.
 
Passo 4
1. Não-vazio: Vamos verificar se 
  não está vazio. Bem, o polinômio zero, que é 
 , é um polinômio de grau menor ou igual a 
  (na verdade, não tem termo de grau nenhum), então ele está em 
 . Portanto, o conjunto não está vazio.
Passo 5
2. Fechado sob a adição: Vamos pegar dois polinômios quaisquer em 
 , digamos 
  e 
 . Se somarmos esses dois polinômios, temos:
Note que o grau do polinômio resultante ainda é no máximo 
 , pois estamos somando termos de mesmo grau. Portanto, 
  também está em 
 , mostrando que o conjunto é fechado sob adição.
Passo 6
3. Fechado sob multiplicação por escalar: Agora, vamos pegar um polinômio qualquer em 
 , digamos 
 , e multiplicar por um escalar 
  (um número real). Temos:
Como cada coeficiente 
  ainda é um número real e o grau do polinômio permanece no máximo 
 , o polinômio resultante 
  também está em 
 . Assim, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como 
  não está vazio, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar, podemos concluir que 
  é realmente um subespaço do espaço vetorial de todas as funções de 
  para 
 .