Seja T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} um operador linear definido por T(x, y, z)=(x-y, 2 y, y+z).
(a) Demonstre que o operador linear T é um isomorfismo, isto é, operador linear T é invertível. (Dica: Determine a matriz [T]_{B, B}, tomando B como sendo a base canônica do \mathbb{R}^{3} e verifique se essa matriz é invertível.)
(b) Determine a matriz [T]_{B, B}^{-1}. Em seguida, usando essa matriz, determine a lei de formação do operador linear T^{-1}.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definido por
T(x,y,z)=(x-y,\;2y,\;y+z).
As perguntas são:
(a) Mostrar que T é um isomorfismo (ou seja, que T é invertível).
(b) Determinar a matriz [T]_{B,B}^{-1} (onde B é a base canônica) e, usando-a, obter a lei de formação de T^{-1}.
Informações relevantes fornecidas:
A base B é a base canônica \{e_{1},e_{2},e_{3}\} de \mathbb{R}^{3}.
A regra de T aplicada a um vetor (x,y,z) está explicitada acima.
Passo 2
Primeiro vamos obter a matriz de T em relação à base canônica B. Lembrando que a matriz coluna correspondente é formada pelas imagens dos vetores da base:
Para decidir se T é invertível, usamos o fato (teoria curta e direta): uma transformação linear T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n} é invertível se, e somente se, a matriz associada em uma base qualquer tem determinante diferente de zero. Ou seja, T é isomorfismo \iff \det([T]_{B,B})\neq0.
Calculemos \det(A). Usando expansão pela primeira linha:
Como \det(A)=2\neq0, concluímos que A é invertível e, portanto, T é um isomorfismo (invertível). Isso responde a (a).]
Passo 4
Agora vamos calcular explicitamente A^{-1}=[T]_{B,B}^{-1}. Usarei o método de Gauss–Jordan (eliminacão) para inverter a matriz. Partimos da matriz aumentada (A\;|\;I):
Para checar (opcional mas útil didaticamente) que está correto, podemos multiplicar A por A^{-1} e verificar que obtém I_{3}. Multiplicando mentalmente ou por linhas/colunas:
o que confirma que o inverso está correto (os cálculos das entradas foram feitos no processo de Gauss–Jordan).]
Passo 6
Finalmente, obtemos a lei de formação de T^{-1}. Se denotarmos um vetor arbitrário em \mathbb{R}^{3} por (u,v,w), então a imagem por T^{-1} é dada por multiplicar A^{-1} pelo vetor coluna \begin{pmatrix}u\\[2pt]v\\[2pt]w\end{pmatrix}. Assim