Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou div gente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)^{3 / 4}}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)^{3/4}}
e pede para verificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações fornecidas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{(-1)^{n-1}}{(n+1)^{3/4}} para n\ge1.
  • Interessam três possibilidades: convergência absoluta (a série dos valores absolutos converge), convergência condicional (a série original converge mas a dos valores absolutos diverge) ou divergência (a série original diverge).

Passo 2

Primeiro vou explicar os conceitos que vou usar (passo-a-passo, sem pular):
  • Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série \sum |a_n| converge. Isso é forte: absoluta convergência implica convergência da série original.
  • Se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverge, dizemos que \sum a_n é condicionalmente convergente.
  • Para séries com sinais alternados (como a nossa), o teste de Leibniz (teste da série alternada) é muito útil. Ele diz: se b_n\ge0, b_{n+1}\le b_n (sequência decrescente) e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série \sum (-1)^{n} b_n (ou com (-1)^{n-1}) converge.
  • Também usarei o critério da série p (p-series): \sum 1/n^p converge se, e somente se, p>1; diverge se p\le1.

Passo 3

Testando a convergência absoluta: consideramos a série das magnitudes
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{3/4}}.
Compare esta série com a p-série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3/4}}. Calculo o quociente dos termos para usar o teste da comparação limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{(n+1)^{3/4}}}{\dfrac{1}{n^{3/4}}} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{3/4}=1.
Como o limite é um número finito e positivo, pelas propriedades do teste de comparação limite, as duas séries (a com (n+1)^{-3/4} e a com n^{-3/4}) têm o mesmo comportamento de convergência/divergência. Mas a p-série \sum 1/n^{3/4} tem p=3/4<1, portanto diverge. Concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{3/4}}
diverge. Logo a série original não é absolutamente convergente.

Passo 4

Agora testar se a série alternada converge (possível convergência condicional). Escrevo o termo positivo correspondente:
b_n=\frac{1}{(n+1)^{3/4}},\qquad b_n>0.
Preciso verificar dois pontos do teste de Leibniz: (i) b_n é decrescente e (ii) \lim_{n\to\infty} b_n=0.

Passo 5

Verificação de \lim_{n\to\infty} b_n=0:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)^{3/4}}=0,
pois o denominador cresce sem limite e a potência positiva faz o quociente tender a zero. Isso é direto e bem conhecido.

Passo 6

Verificação de que b_n é decrescente para n\ge1. Duas maneiras simples:
  • Observação direta: para n\ge1 tem-se n+2>n+1, logo (n+2)^{3/4}>(n+1)^{3/4}, o que implica
b_{n+1}=\frac{1}{(n+2)^{3/4}}<\frac{1}{(n+1)^{3/4}}=b_n.
Portanto (b_n) é estritamente decrescente.
(Alternativamente, poderia mostrar que a função f(x)=(x+1)^{-3/4} tem derivada negativa para x>0, o que também garante decrescimento.)

Passo 7

Como b_n>0, b_n é decrescente e \lim_{n\to\infty} b_n=0, pelos critérios de Leibniz a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(n+1)^{3/4}}
converge.

Passo 8

Juntando os resultados:
  • A série dos valores absolutos diverge (Passo 3), logo não é absolutamente convergente.
  • A série original converge (Passo 7) pelo teste de Leibniz.
    Portanto a convergência é condicional.

Resposta

Condicionalmente convergente.

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