Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou div gente:
.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para verificar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- O termo geral é
para . - Interessam três possibilidades: convergência absoluta (a série dos valores absolutos converge), convergência condicional (a série original converge mas a dos valores absolutos diverge) ou divergência (a série original diverge).
Passo 2
Primeiro vou explicar os conceitos que vou usar (passo-a-passo, sem pular):
- Uma série
é absolutamente convergente se a série converge. Isso é forte: absoluta convergência implica convergência da série original. - Se
converge mas diverge, dizemos que é condicionalmente convergente. - Para séries com sinais alternados (como a nossa), o teste de Leibniz (teste da série alternada) é muito útil. Ele diz: se
, (sequência decrescente) e , então a série (ou com ) converge. - Também usarei o critério da série p (p-series):
converge se, e somente se, ; diverge se .
Passo 3
Testando a convergência absoluta: consideramos a série das magnitudes
Compare esta série com a p-série
. Calculo o quociente dos termos para usar o teste da comparação limite:
Como o limite é um número finito e positivo, pelas propriedades do teste de comparação limite, as duas séries (a com
e a com
) têm o mesmo comportamento de convergência/divergência. Mas a p-série
tem
, portanto diverge. Concluímos que
diverge. Logo a série original não é absolutamente convergente.
Passo 4
Agora testar se a série alternada converge (possível convergência condicional). Escrevo o termo positivo correspondente:
Preciso verificar dois pontos do teste de Leibniz: (i)
é decrescente e (ii)
.
Passo 5
Verificação de
:
pois o denominador cresce sem limite e a potência positiva faz o quociente tender a zero. Isso é direto e bem conhecido.
Passo 6
Verificação de que
é decrescente para
. Duas maneiras simples:
- Observação direta: para
tem-se , logo , o que implica
Portanto
é estritamente decrescente.
(Alternativamente, poderia mostrar que a função tem derivada negativa para
, o que também garante decrescimento.)
(Alternativamente, poderia mostrar que a função
Passo 7
Como
,
é decrescente e
, pelos critérios de Leibniz a série alternada
converge.
Passo 8
Juntando os resultados:
- A série dos valores absolutos diverge (Passo 3), logo não é absolutamente convergente.
- A série original converge (Passo 7) pelo teste de Leibniz.
Portanto a convergência é condicional.
Resposta
Condicionalmente convergente.