Qual é a matriz da transformação T: P_{1}(x) \rightarrow P_{2}(x) definida por T(p(x))=x p(x), em relação às bases \alpha=x, 1 e \beta=\left\{x^{2}, x-1, x+1\right\} de P_{1}(x) e P_{2}(x), respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de
T\colon P_{1}(x)\to P_{2}(x),\qquad T\bigl(p(x)\bigr)=x\,p(x)
na base \alpha=\{x,1\} de P_{1}(x) e na base
\beta=\{x^{2},\,x-1,\,x+1\} de P_{2}(x).
Para isso, basta calcular T em cada vetor de \alpha e escrever o resultado nos vetores de \beta.

Passo 2

Calcular T\bigl(x\bigr). Temos
T(x)=x\cdot x = x^{2}.
Agora escrevemos x^{2} na base \beta.
Como x^{2}=1\cdot x^{2}+0\cdot(x-1)+0\cdot(x+1),
o vetor de coordenadas de T(x) em \beta é
[T(x)]_{\beta} = \begin{pmatrix}1 \\[6pt] 0 \\[3pt] 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calcular T\bigl(1\bigr). Temos
T(1)=x\cdot 1 = x.
Queremos x = a\,x^{2} + b\,(x-1) + c\,(x+1).
Expandindo o lado direito:
a\,x^2 + b\,x - b + c\,x + c = a\,x^2 + (b+c)\,x + (c - b).
Igualando com x = 0\cdot x^2 + 1\cdot x + 0, obtemos
a=0,\quad b+c=1,\quad c-b=0\implies b=c=\tfrac12.
Logo
[T(1)]_{\beta} = \begin{pmatrix}0 \\[3pt] \tfrac12 \\[3pt] \tfrac12\end{pmatrix}.]

Passo 4

A matriz de T relativa a \alpha,\beta tem colunas formadas por [T(x)]_{\beta} e [T(1)]_{\beta}. Assim,
[T]_{\beta,\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[3pt] 0 & \tfrac12 \\[3pt] 0 & \tfrac12 \end{pmatrix}.]

Resposta

[T]_{\beta,\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[3pt] 0 & \tfrac12 \\[3pt] 0 & \tfrac12 \end{pmatrix}.]

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