Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por T(x, y, z)=(x+y, y+z, x+z). Ache os autovalores e autovetores de T. A transformação T é diagonalizável?
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores de T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;y+z,\;x+z).
O conteúdo é autovalores/autovetores de uma matriz 3\times3. Para resolver, vamos (a) escrever a matriz de T na base canônica, (b) calcular o polinômio característico, (c) achar as raízes (autovalores) e em seguida (d) resolver (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda (autovetores).
Em \mathbb{R} só há um autovalor real (2), com multiplicidade geométrica 1, logo não dá para diagonalizar A sobre \mathbb{R}. Em \mathbb{C} há três autovalores distintos, então Té diagonalizável sobre \mathbb{C}.
Resposta
Autovalores: \lambda_1=2, \lambda_{2,3}=\tfrac{1\pm i\sqrt3}{2}.
Autovetores:
Para \lambda_1=2, v_1=(1,1,1).
Para \lambda_2=\tfrac{1+i\sqrt3}{2}, v_2=(1,\mu,\mu^2) com \mu=\tfrac{-1+i\sqrt3}{2}.
Para \lambda_3=\tfrac{1-i\sqrt3}{2}, v_3=(1,\overline{\mu},\overline{\mu}^2).
Diagonalizável sobre \mathbb{C}, mas não sobre \mathbb{R}.