Considere a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por T(x, y, z)= (x+y, y+z, x+z). Ache os autovalores e autovetores de T. A transformação T é diagonalizável?

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores de T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=(x+y,\;y+z,\;x+z).
O conteúdo é autovalores/autovetores de uma matriz 3\times3. Para resolver, vamos (a) escrever a matriz de T na base canônica, (b) calcular o polinômio característico, (c) achar as raízes (autovalores) e em seguida (d) resolver (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda (autovetores).

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, temos
T(e_1)=T(1,0,0)=(1,0,1),\quad T(e_2)=T(0,1,0)=(1,1,0),\quad T(e_3)=T(0,0,1)=(0,1,1).
Logo a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

O polinômio característico é
\det(A-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 0\\\\ 0 & 1-\lambda & 1\\\\ 1 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)\,(1-\lambda)^2 -1\bigl(0\cdot(1-\lambda)-1\cdot1\bigr) =(1-\lambda)^3 +1.
Desenvolvendo,
(1-\lambda)^3+1 =-(\lambda-1)^3+1 =(2-\lambda)\bigl(\lambda^2-\lambda+1\bigr).

Passo 4

As raízes de (2-\lambda)(\lambda^2-\lambda+1)=0 são
\lambda_1 = 2,\quad \lambda_{2,3} = \frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

  1. Para \lambda_1=2\), resolvemos \[(A-2I)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} -x+y=0,\\\\ -y+z=0,\\\ x-z=0, \end{cases}
daí y=x\], \(z=y=x. Um vetor próprio é
v_1=(1,1,1).
  1. Para \lambda=\lambda_2=\frac{1+i\sqrt3}{2}, chamemos \mu=\lambda-1. As equações viram
(1-\lambda)x + y=0,\quad (1-\lambda)y + z=0,
ou seja y=\mu x, z=\mu y=\mu^2 x. Um autovetor complexo é
v_2 = \bigl(1,\;\mu,\;\mu^2\bigr), \quad\mu=\tfrac{-1+i\sqrt3}{2}.
De modo análogo para \lambda_3=\overline{\lambda_2} vem
v_3 = \bigl(1,\;\overline{\mu},\;\overline{\mu}^2\bigr).

Passo 6

Em \mathbb{R} só há um autovalor real ( 2), com multiplicidade geométrica 1, logo não dá para diagonalizar A sobre \mathbb{R}. Em \mathbb{C} há três autovalores distintos, então T é diagonalizável sobre \mathbb{C}.

Resposta

Autovalores:
\lambda_1=2, \lambda_{2,3}=\tfrac{1\pm i\sqrt3}{2}.
Autovetores:
Para \lambda_1=2, v_1=(1,1,1).
Para \lambda_2=\tfrac{1+i\sqrt3}{2}, v_2=(1,\mu,\mu^2) com \mu=\tfrac{-1+i\sqrt3}{2}.
Para \lambda_3=\tfrac{1-i\sqrt3}{2}, v_3=(1,\overline{\mu},\overline{\mu}^2).
Diagonalizável sobre \mathbb{C}, mas não sobre \mathbb{R}.

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