Na matrizes abaixo, calcule os determinantes usando a expansão em co-fatores.
\left|\begin{array}{rrrr}4 & -4 & 2 & 1 \\\\ 1 & 2 & 0 & 3 \\\\ 2 & 0 & 3 & 4 \\\\ 0 & -3 & 2 & 1\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 4 & -4 & 2 & 1 \\[6pt] 1 & 2 & 0 & 3 \\[6pt] 2 & 0 & 3 & 4 \\[6pt] 0 & -3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
usando expansão em co-fatores. O conteúdo envolvido é a definição de co-fator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor correspondente à remoção da linha i e coluna j.]

Passo 2

Escolhemos expandir ao longo da segunda linha, porque ela tem um zero. A fórmula de expansão é
\det(A) =\sum_{j=1}^{4}a_{2j}\,C_{2j} =\sum_{j=1}^{4}a_{2j}\,(-1)^{2+j}M_{2j}.

Passo 3

Para j=1, a_{21}=1. O menor é
M_{21} =\det\begin{pmatrix} -4 & 2 & 1\\\\ 0 & 3 & 4\\\\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
usando a primeira linha:
M_{21} =(-4)\cdot(3\cdot1-4\cdot2)\;-\;2\cdot(0\cdot1-4\cdot(-3)) \;+\;1\cdot(0\cdot2-3\cdot(-3)) =5.
O co-fator é
C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-5,
logo a contribuição é
a_{21}C_{21}=1\cdot(-5)=-5.

Passo 4

Para j=2, a_{22}=2. O menor é
M_{22} =\det\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1\\\\ 2 & 3 & 4\\\\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}
pela primeira linha:
M_{22} =4\cdot(3\cdot1-4\cdot2)\;-\;2\cdot(2\cdot1-4\cdot0) \;+\;1\cdot(2\cdot2-3\cdot0) =-20.
O co-fator é
C_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=-20,
logo a contribuição é
a_{22}C_{22}=2\cdot(-20)=-40.

Passo 5

Para j=4, a_{24}=3. O menor é
M_{24} =\det\begin{pmatrix} 4 & -4 & 2\\\\ 2 & 0 & 3\\\\ 0 & -3 & 2 \end{pmatrix}
pela primeira linha:
M_{24} =4\cdot(0\cdot2-3\cdot(-3))\;-\;(-4)\cdot(2\cdot2-3\cdot0) \;+\;2\cdot(2\cdot(-3)-0\cdot0) =40.
O co-fator é
C_{24}=(-1)^{2+4}M_{24}=40,
logo a contribuição é
a_{24}C_{24}=3\cdot40=120.

Passo 6

Somando todas as contribuições não nulas:
\det(A)=(-5)+(-40)+120=75.

Resposta

75

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