Quais matrizes abaixo possuem inversa? Encontre as inversas das que possuem.
(c) C=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das matrizes apresentadas são invertíveis e, para as que forem, calcular suas inversas. Em particular, temos a matriz
C = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\[6pt] 0 & 1 & 4\\[6pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
O conteúdo envolve a propriedade de matrizes triangulares e o método de inversão via resolução de sistemas lineares (ou eliminação de Gauss).]

Passo 2

Uma matriz triangular (superior ou inferior) é invertível se, e somente se, todos os elementos de sua diagonal principal são não nulos. Aqui a diagonal de C é (1,1,1), todos não nulos. Logo, C é invertível.

Passo 3

Para encontrar C^{-1}\), resolvemos o sistema matricial \[C\,X = I_3,
onde X é a matriz inversa e I_3 é a identidade 3\times3. Isso equivale a resolver três sistemas C\,x_j = e_j, onde e_j é a j-ésima coluna de I_3.
Primeira coluna j=1: C\,x_1 = e_1. Das equações
\begin{cases} x_{31} = 0,\\\ x_{21} + 4\,x_{31} = 0 \implies x_{21}=0,\\\ x_{11} + 2\,x_{21} + 3\,x_{31} = 1 \implies x_{11}=1, \end{cases}
vem (x_1 = (1,0,0)^T].
Segunda coluna j=2\): \(C\,x_2 = e_2\). Das equações \[\begin{cases} x_{32} = 0,\\\ x_{22} + 4\,x_{32} = 1 \implies x_{22}=1,\\\ x_{12} + 2\,x_{22} + 3\,x_{32} = 0 \implies x_{12}=-2, \end{cases}
vem (x_2 = (-2,1,0)^T].
Terceira coluna j=3\): \(C\,x_3 = e_3\). Das equações \[\begin{cases} x_{33} = 1,\\\ x_{23} + 4\,x_{33} = 0 \implies x_{23}=-4,\\\ x_{13} + 2\,x_{23} + 3\,x_{33} = 0 \implies x_{13}=5, \end{cases}
vem (x_3 = (5,-4,1)^T].

Passo 4

Reunindo as colunas x_1,x_2,x_3, obtemos
C^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -2 & 5\\[4pt] 0 & 1 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.]

Resposta

A matriz C é invertível e
C^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -2 & 5\\[4pt] 0 & 1 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.]

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