Para as matrizes a seguir encontre os autovalores e os autovetores associados:
\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}
e pede que eu encontre os autovalores e os autovetores associados. Em outras palavras:
  • Determinar todos os valores \lambda (autovalores) que satisfazem a condição de existência de vetores não nulos v tais que A v = \lambda v.
  • Para cada autovalor encontrado, determinar todos os vetores v\neq 0 (autovetores) que satisfazem A v = \lambda v.]

Passo 2

Explicando a ideia que vou usar (passo a passo): para encontrar os autovalores calculo o polinômio característico dado por \det(A-\lambda I)=0. Aqui I é a matriz identidade 2\times2 e \lambda é o escalar incógnita. Depois, para cada solução \lambda, encontro os vetores não nulos v que são soluções do sistema linear
(A-\lambda I)v=0.
Vou aplicar isso explicitamente à matriz dada.

Passo 3

Calcular o polinômio característico. Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & -1 \\[4pt] 2 & 4-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(4-\lambda)-(-1)\cdot 2.
Vou desenvolver esse produto e simplificar.]

Passo 4

Expandindo e simplificando o determinante:
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(4-\lambda)+2.
Calculo o produto:
(1-\lambda)(4-\lambda)=1\cdot 4 -1\cdot\lambda -\lambda\cdot 4 +\lambda^2 =4-5\lambda+\lambda^2.
Somando o +2:
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-5\lambda+6.
Agora imponho a condição do polinômio característico igual a zero:
\lambda^2-5\lambda+6=0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática \lambda^2-5\lambda+6=0. Tento fatorar:
\lambda^2-5\lambda+6=(\lambda-2)(\lambda-3).
Portanto as raízes são
\lambda=2\quad\text{e}\quad \lambda=3.
Esses são os autovalores da matriz A.

Passo 6

Agora encontro os autovetores associados a cada autovalor resolvendo [(A-\lambda I)v=0).
Começo por \lambda=2. Escrevo
A-2I=\begin{pmatrix}1-2 & -1 \\[4pt] 2 & 4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & -1 \\[4pt] 2 & 2\end{pmatrix}.
Se v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}, o sistema (A-2I)v=0 é
\begin{cases} -1\cdot x -1\cdot y =0,\\[4pt] 2\cdot x +2\cdot y =0. \end{cases}
As duas equações são equivalentes (segunda é -2\] vezes a primeira). Da primeira vem \[- x - y =0 \quad\Rightarrow\quad x = -y.\] Escolho uma variável livre para parametrizar: seja \(y=t com t\neq 0. Então x=-t. Assim os autovetores associados a \lambda=2 são todos os múltiplos escalares do vetor
\begin{pmatrix}-1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Ou seja, o espaço próprio para \lambda=2 é \{t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}:t\in\mathbb{R},t\neq 0\}.]

Passo 7

Agora \lambda=3\). Escrevo \[A-3I=\begin{pmatrix}1-3 & -1 \\[4pt] 2 & 4-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & -1 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
Novamente, para v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}, o sistema (A-3I)v=0 é
\begin{cases} -2x - y =0,\\[4pt] 2x + y =0. \end{cases}
As duas equações são novamente equivalentes (segunda é -1\] vez a primeira). Da primeira: \[-2x - y =0 \quad\Rightarrow\quad y = -2x.\] Escolho \(x=s com s\neq 0. Então y=-2s. Assim os autovetores associados a \lambda=3 são todos os múltiplos escalares do vetor
\begin{pmatrix}1\\[4pt] -2\end{pmatrix}.
Ou seja, o espaço próprio para \lambda=3 é \{s\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}:s\in\mathbb{R},s\neq 0\}.]

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas didática): verificar que A\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix} e que A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Cálculo 1:
A\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\cdot(-1)+(-1)\cdot 1\\[4pt]2\cdot(-1)+4\cdot 1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-1-1\\[4pt]-2+4\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Cálculo 2:
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\cdot 1 + (-1)\cdot(-2)\\[4pt]2\cdot 1 + 4\cdot(-2)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1+2\\[4pt]2-8\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}3\\[4pt]-6\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Essas contas confirmam que os vetores encontrados são de fato autovetores correspondentes aos autovalores indicados.]

Resposta

\lambda=2: autovetores proporcionais a \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}
\lambda=3: autovetores proporcionais a \begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}]

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