e pede que eu encontre os autovalores e os autovetores associados. Em outras palavras:
Determinar todos os valores \lambda (autovalores) que satisfazem a condição de existência de vetores não nulos v tais que A v = \lambda v.
Para cada autovalor encontrado, determinar todos os vetores v\neq 0 (autovetores) que satisfazem A v = \lambda v.]
Passo 2
Explicando a ideia que vou usar (passo a passo): para encontrar os autovalores calculo o polinômio característico dado por \det(A-\lambda I)=0. Aqui I é a matriz identidade 2\times2 e \lambda é o escalar incógnita. Depois, para cada solução \lambda, encontro os vetores não nulos v que são soluções do sistema linear
(A-\lambda I)v=0.
Vou aplicar isso explicitamente à matriz dada.
Passo 3
Calcular o polinômio característico. Primeiro escrevo A-\lambda I:
Se v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}, o sistema (A-2I)v=0 é
\begin{cases} -1\cdot x -1\cdot y =0,\\[4pt] 2\cdot x +2\cdot y =0. \end{cases}
As duas equações são equivalentes (segunda é -2\] vezes a primeira). Da primeira vem
\[- x - y =0 \quad\Rightarrow\quad x = -y.\]
Escolho uma variável livre para parametrizar: seja \(y=t com t\neq 0. Então x=-t. Assim os autovetores associados a \lambda=2 são todos os múltiplos escalares do vetor
\begin{pmatrix}-1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Ou seja, o espaço próprio para \lambda=2 é \{t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}:t\in\mathbb{R},t\neq 0\}.]
Novamente, para v=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}, o sistema (A-3I)v=0 é
\begin{cases} -2x - y =0,\\[4pt] 2x + y =0. \end{cases}
As duas equações são novamente equivalentes (segunda é -1\] vez a primeira). Da primeira:
\[-2x - y =0 \quad\Rightarrow\quad y = -2x.\]
Escolho \(x=s com s\neq 0. Então y=-2s. Assim os autovetores associados a \lambda=3 são todos os múltiplos escalares do vetor
\begin{pmatrix}1\\[4pt] -2\end{pmatrix}.
Ou seja, o espaço próprio para \lambda=3 é \{s\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}:s\in\mathbb{R},s\neq 0\}.]
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas didática): verificar que A\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix} e que A\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.