Encontre o polinômio característico de cada matriz: \left[\begin{array}{cc}3 & 4 \\\\ -1 & 4\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o polinômio característico da matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 4 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix}.
Informações dadas:
A matriz é 2\times2 com entradas a_{11}=3, a_{12}=4, a_{21}=-1, a_{22}=4.
A pergunta é apenas o polinômio característico associado a A.
Passo 2
O que é o polinômio característico? Vou explicar devagarinho. Para uma matriz quadrada A e uma variável escalar \lambda, o polinômio característico é definido por
p(\lambda)=\det\!\bigl(A-\lambda I\bigr),
onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A e \det(\cdot) é o determinante. Aqui \lambda representa um número geral (não conhecido) — quando resolvermos p(\lambda)=0 obtemos os autovalores, mas agora o pedido é só o polinômio, então vamos calcular p(\lambda).
Passo 3
Primeiro escrevemos A-\lambda I. A matriz identidade 2\times2 é
Interpretação rápida (só para fixar): o polinômio característico encontrado é um polinômio quadrático em \lambda. Se fosse necessário achar os autovalores, resolveríamos p(\lambda)=0, mas isso não foi pedido. Bom trabalho por ter chegado até aqui — já dominou o procedimento para qualquer 2\times2!