Para as matrizes a seguir encontre os autovalores e os autovetores associados: \left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\\\ 3 & -1 & 0 \\\\ 0 & 4 & 3\end{array}\right]
para cada autovalor, encontrar os autovetores (vetores próprios) associados.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz A tem entradas explícitas em cada posição (já listadas acima).
A pergunta é típica: resolver \det(A-\lambda I)=0 para obter os autovalores \lambda e, em seguida, para cada \lambda resolver (A-\lambda I)v=0 para obter os autovetores v\neq0.]
Passo 2
O que é preciso usar (explicação didática breve e amigável).
Definição: um escalar \lambda é autovalor de A se existe um vetor não-nulo v tal que
A v = \lambda v.
Esse v é um autovetor associado a \lambda.
Procedimento padrão: resolver a equação característica
\det(A-\lambda I)=0
para obter os autovalores, e depois, para cada \lambda, resolver o sistema linear homogêneo
(A-\lambda I)v=0
para encontrar os autovetores.
Observação importante que facilita muito aqui: se uma matriz é triangular (superior ou inferior), seu determinante é o produto dos elementos da diagonal. Assim, para matriz triangular a equação característica \det(A-\lambda I)=0 se reduz a multiplicar os termos (a_{ii}-\lambda) na diagonal.
No nosso caso, A é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal são zero). Portanto a equação característica é simples de obter.
Passo 3
Cálculo dos autovalores usando a propriedade triangular.
Formamos A-\lambda I e usamos que o determinante é o produto dos termos da diagonal:
Resumo e comentário final rápido (para te animar).
Encontramos três autovalores distintos \;2,-1,3 e para cada um um espaço próprio unidimensional com geradores claros. Ter três autovalores distintos em uma matriz 3\times3 geralmente garante três autovetores linearmente independentes — isso significa que A é diagonalizável (se isso for algo que cair na sua prova, vale a pena mencionar).
Você está indo bem — essas contas são sistemáticas: achar os autovalores pela equação característica e depois resolver sistemas homogêneos para cada autovalor.