Para as matrizes a seguir encontre os autovalores e os autovetores associados:
\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os autovalores e os autovetores associados da matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A matriz A é uma matriz 3\times3 triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero).
  • O pedido é dois objetos: (i) os autovalores \lambda (números tais que existe vetor não nulo v com Av=\lambda v), e (ii) os autovetores v associados a cada autovalor (vetores não nulos que satisfazem Av=\lambda v).]

Passo 2

O que é um autovalor e um autovetor — explicação prática e a equação básica que usamos.
  • Definição: um escalar \lambda é autovalor de A se existe vetor não nulo v tal que
Av=\lambda v.
  • Reescrevendo, isso dá a equação linear homogênea
(A-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade 3\times3. Para haver solução não trivial, o sistema pede
\det(A-\lambda I)=0.
Essa expressão \det(A-\lambda I) é o polinômio característico; as suas raízes são os autovalores. Aqui:
  • (A-\lambda I) significa subtrair \lambda dos elementos da diagonal de A.
  • \det(\cdot) é o determinante da matriz; quando a matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal.

Passo 3

Calcular o polinômio característico aproveitando que A é triangular.
  • Escrevemos
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-\lambda & 1 & 2 \\[4pt] 0 & -\lambda & 3 \\[4pt] 0 & 0 & -\lambda\end{pmatrix}.
  • Como é matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
\det(A-\lambda I)=(-\lambda)\cdot(-\lambda)\cdot(-\lambda)=(-\lambda)^3=-\lambda^3.
  • Impor \det(A-\lambda I)=0
-\lambda^3=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda^3=0.
Logo a única raiz é \lambda=0, com multiplicidade algébrica 3 (ou seja, o polinômio característico é \,-\lambda^3).]

Passo 4

Interpretando o resultado do passo anterior e preparando para achar os autovetores.
  • Conclusão até aqui: o único autovalor possível é
\lambda=0,
com multiplicidade algébrica 3.
  • Agora devemos encontrar todos os vetores não nulos v que satisfazem Av=0 (porque \lambda=0 leva a (A-0I)v=Av=0). Esse conjunto de vetores é o espaço próprio (eigenspace) associado a \lambda=0.

Passo 5

Resolver Av=0\) passo a passo para encontrar os autovetores. - Escreva \(v=\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}\). A equação \(Av=0\) equivale ao sistema linear (multiplicando \(A\) por \(v\)): \[\begin{cases} 0\cdot x + 1\cdot y + 2\cdot z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y + 3\cdot z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0. \end{cases}
  • Simplificando as equações:
\begin{cases} y + 2z = 0,\\[4pt] 3z = 0,\\[4pt] 0 = 0. \end{cases}
  • Da segunda equação segue z=0\]. Substituindo na primeira obtemos \(y+2\cdot 0=0\Rightarrow y=0.
  • A terceira equação não impõe restrição; a coordenada x fica livre (não aparece em nenhuma equação).
  • Assim os vetores solução têm a forma
v=\begin{pmatrix}x\\[2pt] 0\\[2pt] 0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\[2pt] 0\\[2pt] 0\end{pmatrix},
com x qualquer número real. Para ser autovetor precisa ser não nulo, então x\neq0.]

Passo 6

Conclusões sobre autovetores, dimensão do espaço próprio e consequências.
  • O espaço próprio associado a \lambda=0 é
\operatorname{E}_0=\{\,x(1,0,0)^\top : x\in\mathbb{R}\,\}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}\right\}.
  • A dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) é 1, embora a multiplicidade algébrica de \lambda=0 seja 3. Isso significa, por exemplo, que A não é diagonalizável (para diagonalizar seria preciso ter três autovetores linearmente independentes).
  • Observação útil (não pedida, mas clarificadora): A é nilpotente de ordem 3 (isto é, A^3=0 e A^2\neq0), o que é coerente com ter apenas autovalor 0.]

Resposta

Autovalores: \lambda=0 (multiplicidade algébrica 3).
Autovetores associados: todos os vetores proporcionais a \displaystyle \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}; o espaço próprio é \operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}\right\}.]

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