Para as matrizes a seguir encontre os autovalores e os autovetores associados: \left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os autovalores e os autovetores associados da matriz
A matriz A é uma matriz 3\times3 triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero).
O pedido é dois objetos: (i) os autovalores \lambda (números tais que existe vetor não nulo v com Av=\lambda v), e (ii) os autovetores v associados a cada autovalor (vetores não nulos que satisfazem Av=\lambda v).]
Passo 2
O que é um autovalor e um autovetor — explicação prática e a equação básica que usamos.
Definição: um escalar \lambda é autovalor de A se existe vetor não nulo v tal que
Av=\lambda v.
Reescrevendo, isso dá a equação linear homogênea
(A-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade 3\times3. Para haver solução não trivial, o sistema pede
\det(A-\lambda I)=0.
Essa expressão \det(A-\lambda I) é o polinômio característico; as suas raízes são os autovalores. Aqui:
(A-\lambda I) significa subtrair \lambda dos elementos da diagonal de A.
\det(\cdot) é o determinante da matriz; quando a matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal.
Passo 3
Calcular o polinômio característico aproveitando que A é triangular.
Logo a única raiz é \lambda=0, com multiplicidade algébrica 3 (ou seja, o polinômio característico é \,-\lambda^3).]
Passo 4
Interpretando o resultado do passo anterior e preparando para achar os autovetores.
Conclusão até aqui: o único autovalor possível é
\lambda=0,
com multiplicidade algébrica 3.
Agora devemos encontrar todos os vetores não nulos v que satisfazem Av=0 (porque \lambda=0 leva a (A-0I)v=Av=0). Esse conjunto de vetores é o espaço próprio (eigenspace) associado a \lambda=0.
Passo 5
Resolver Av=0\) passo a passo para encontrar os autovetores.
- Escreva \(v=\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}\). A equação \(Av=0\) equivale ao sistema linear (multiplicando \(A\) por \(v\)):
\[\begin{cases} 0\cdot x + 1\cdot y + 2\cdot z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y + 3\cdot z = 0,\\[4pt] 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0. \end{cases}
A dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) é 1, embora a multiplicidade algébrica de \lambda=0 seja 3. Isso significa, por exemplo, que A não é diagonalizável (para diagonalizar seria preciso ter três autovetores linearmente independentes).
Observação útil (não pedida, mas clarificadora): A é nilpotente de ordem 3 (isto é, A^3=0 e A^2\neq0), o que é coerente com ter apenas autovalor 0.]
Autovetores associados: todos os vetores proporcionais a \displaystyle \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}; o espaço próprio é \operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}\right\}.]