Por que na Mecânica Clássica não é possível ter E<V(x) ? Por que isto é possível na Mecânica Quântica, desde que haja alguma região na qual E>V(x) ? Faça um breve comentário sobre se realmente é possível ter E<V(x) em Mecânica Quântica.

Passo 1

O enunciado pergunta por que, na Mecânica Clássica, nunca podemos encontrar uma situação em que a energia total E seja menor do que o potencial V(x), enquanto na Mecânica Quântica isso é permitido em certas regiões, desde que exista ao menos um trecho onde E>V(x). O conteúdo principal aqui envolve conservação de energia na forma clássica e a equação de Schrödinger independente do tempo na Mecânica Quântica.

Passo 2

Na Mecânica Clássica unidimensional a energia total de uma partícula de massa m é dada por
E = T + V(x),
onde a energia cinética é
T = \frac{1}{2}m v^2.
Como \tfrac12 m v^2\ge 0 para toda velocidade real v, segue-se que
T \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad E - V(x) \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad E \ge V(x).
Se tentássemos ter E<V(x), a “energia cinética” T=E-V(x) seria negativa, o que é fisicamente impossível no modelo clássico.

Passo 3

Na Mecânica Quântica unidimensional a função de onda estacionária \psi(x) satisfaz
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\,\psi(x) = E\,\psi(x).
Reescrevendo,
\frac{d^2\psi}{dx^2} = \frac{2m}{\hbar^2}\bigl(V(x)-E\bigr)\,\psi(x).
Em uma região onde V(x)<E, o coeficiente \frac{2m}{\hbar^2}(V-E) é negativo e \psi oscila (região classically allowed).
Em contrapartida, se V(x)>E, o coeficiente é positivo e as soluções são combinações de exponenciais reais que decaem ou crescem com x. A parte que cresce é descartada para manter \psi normalizável, restando um decaimento exponencial — é a famosa penetração quântica na “barreira” onde E<V(x).

Passo 4

Para que exista uma solução não trivial (ou seja, \psi\neq 0 em todo lugar) é preciso que haja ao menos uma região em que E>V(x) para gerar as ondas que “incidem” sobre a barreira. Se E<V(x) em todo o domínio, a equação de Schrödinger só admite \psi(x)\equiv 0, solução trivial sem significado físico. Por isso, na Mecânica Quântica você sempre precisa de um trecho classically allowed para originar as ondas que depois decairão na região proibida.

Passo 5

Em suma, na Mecânica Quântica é possível ter E<V(x) em trechos do espaço — essa é a essência do tunelamento quântico ou dos estados ligados que “vazam” para fora do poço. Entretanto não se pode ter E<V(x) para todo x, pois aí não há de onde vir a onda oscilante, e a única solução seria \psi=0. O que muda em relação ao caso clássico é que não estamos exigindo energia cinética positiva ponto a ponto, mas sim aceitando regiões onde a função de onda decai exponencialmente.

Resposta

Na Mecânica Clássica temos sempre E\ge V(x) porque a energia cinética não pode ser negativa. Na Mecânica Quântica, regiões onde E<V(x) são permitidas graças ao decaimento exponencial da função de onda em “barreiras” de potencial, desde que exista ao menos um trecho onde E>V(x) para gerar as ondas incidentes.

Exercícios relacionados