Para uma partícula em um poço quadrado infinito é correto dizer que cada estado com energia bem definida é também um estado com comprimento de onda bem definido? Ele também é um estado com momento linear bem definido? Dica: lembre-se que o momento linear é um vetor:
.
Passo 1
O enunciado pergunta sobre uma partícula num poço quadrado infinito unidimensional de comprimento
. Sabemos que os autovalores de energia são
e os autovetores (autofunções) associados são
Queremos verificar se esses estados têm comprimento de onda bem definido e se são estados de momento linear bem definido.
Passo 2
Para cada
, a função de onda
é um modo estacionário que pode ser vista como combinação de duas ondas viajantes de mesma magnitude de número de onda
mas sentidos opostos. O número de onda é
logo o comprimento de onda associado (pela relação de De Broglie) é
Isso mostra que o módulo de
, e portanto o módulo de
, está bem definido em cada autofunção de energia.
Passo 3
Por outro lado, o operador momento em 1D é
Se aplicarmos
em
obtemos a combinação
que não é proporcional a
(que é
). Isso significa que
não é autofunção de
.
Passo 4
Fisicamente, cada
equivale a uma superposição de duas ondas de momento
, com
Logo o módulo do momento está bem definido (pois
), mas o sinal (o sentido do vetor
) fica completamente indefinido. Consequentemente
e
.
Resposta
Cada estado de energia bem definido no poço infinito tem um comprimento de onda (módulo)
bem definido, mas não é um estado de momento linear bem definido, pois não é autofunção de
e constitui superposição de
e
.