Uma barra tem 4 m de comprimento e 30 mm de diâmetro. Determine a quantidade total de energia elástica que ela pode absorver de uma carga de impacto
se for feita de aço para o qual E_{\text {aço }}=200 \mathrm{GPa}ç, \sigma_{e}=800 \mathrm{MPa}

Passo 1

O enunciado dá uma barra cilíndrica de aço com comprimento L=4 m e diâmetro d=30 mm, módulo de Young E_{\text{aço}}=200ç GPa e tensão de escoamento \sigma_{e}=800 MPa. Pede a energia elástica máxima que ela pode acumular antes de atingir o escoamento. Vamos usar o conceito de energia de deformação elástica em tração.

Passo 2

A energia elástica total acumulada em um corpo sujeito a tração até a tensão \sigma_{e} é dada por
U = \int_{0}^{\varepsilon_{e}} \sigma\,\mathrm{d}\varepsilon \;\times\; \text{Volume}
Como na região elástica \sigma=E\,\varepsilon, temos \displaystyle \int_{0}^{\varepsilon_{e}}\sigma\,\mathrm{d}\varepsilon =\int_{0}^{\varepsilon_{e}}E\,\varepsilon\,\mathrm{d}\varepsilon =\tfrac12\,E\,\varepsilon_{e}^{2}. E como \varepsilon_{e}=\sigma_{e}/E, resulta
U = \frac{1}{2}\,E\bigl(\tfrac{\sigma_{e}}{E}\bigr)^{2}\,V = \frac{\sigma_{e}^{2}}{2E}\,V.

Passo 3

O volume da barra é V=A\,L, onde a área da seção reta é
A = \frac{\pi d^{2}}{4} = \frac{\pi\,(30\times10^{-3})^{2}}{4} \;\mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Substituindo em
U=\frac{\sigma_{e}^{2}}{2E}\,A\,L
com \sigma_{e}=800\times10^{6},Pa, E=200\times10^{9},Pa, d=30\times10^{-3},m e L=4,m, obtemos numericamente
A = \frac{\pi\,(0{,}03)^{2}}{4}\approx7{,}07\times10^{-4}\,\mathrm{m^{2}},
U = \frac{(8,00\times10^{8})^{2}}{2\,(2,00\times10^{11})}\times7{,}07\times10^{-4}\times4 \approx4{,}52\times10^{3}\,\mathrm{J}.

Resposta

A quantidade total de energia elástica é aproximadamente 4{,}5 kJ.

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