P14.43 Determine o diâmetro de uma barra de latão vermelho C83400 com 2,5 \mathrm{~m} de comprimento se for usada para absorver 100 J de energia em tração de uma carga de impacto. Nenhum escoamento ocorre.

Passo 1

Temos uma barra de latão vermelho C83400 de comprimento L=2{,}5\\ \mathrm{m} que deve absorver W=100\\ \mathrm{J} de energia por tração sem escoar. O material é linear-elástico até a tensão de escoamento \sigma_y, com módulo de Young E. Para não ocorrer escoamento, a tensão máxima na barra deve ser \sigma_y.

Passo 2

A energia elástica armazenada numa barra sujeita a tensão uniforme \sigma e área de seção A é
W \;=\;\frac{1}{2}\,P\,\delta
onde P=\sigma\,A é a carga de tração e \delta a deformação total. Como \delta = \bigl(\sigma/E\bigr)L, temos
W \;=\;\frac{1}{2}\,\bigl(\sigma A\bigr)\,\Bigl(\frac{\sigma}{E}L\Bigr) \;=\;\frac{A\,L\,\sigma^2}{2\,E}.

Passo 3

Exigindo que essa energia seja W=100\\ \mathrm{J} e que \sigma=\sigma_y, obtemos
\frac{A\,L\,\sigma_y^2}{2\,E} \;=\; W \quad\Longrightarrow\quad A \;=\;\frac{2\,E\,W}{L\,\sigma_y^2}.
Como A = \tfrac{\pi d^2}{4}, segue
d \;=\;\sqrt{\frac{4A}{\pi}} \;=\;\sqrt{\frac{8\,E\,W}{\pi\,L\,\sigma_y^2}}.

Passo 4

Usando valores típicos para latão vermelho C83400:
E = 1{,}00\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}, \quad \sigma_y = 1{,}70\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}, \quad L = 2{,}5\\ \mathrm{m}, \quad W = 100\\ \mathrm{J},
temos
d = \sqrt{\frac{8\,(1{,}00\times10^{11})(100)}{\pi\,(2{,}5)\,(1{,}70\times10^{8})^2}} \approx 1{,}88\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.

Resposta

O diâmetro requerido é aproximadamente d = 18{,}8\\ \mathrm{mm}.

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