Em Mecānica Quāntica, como é efetuada a adiçāo de momentum angular? Comente para o momento angular orbital bem como para o spin eo momento angular total, usando o caso de duas partículas como exemplo.
Passo 1
O enunciado pede uma explicação de como se faz a adição de momentos angulares em Mecânica Quântica, comentando separadamente (a) momento angular orbital, (b) spin e (c) momento angular total, usando como exemplo o caso de duas partículas. Vou listar o que preciso responder e as informações que vou usar:
- Perguntas a responder:
- Como se define e quais são as possibilidades do momento angular resultante quando somamos dois momentos angulares quânticos?
- Como isso funciona no caso de momentos angulares orbitais (valores
)? - Como isso funciona no caso de spins (valores
) — por exemplo dois spins ? - Como se obtém o momento angular total combinando orbital e spin (i.e.,
) e quais esquemas de acoplamento existem (por ex. LS e jj)? - Exemplos concretos (dois spin-
; dois orbitais ; acoplamento orbital+spin para uma partícula e para duas).
- Informações relevantes que uso (princípios gerais):
- Operadores momento angular
satisfazem as relações de comutação . - Estados próprios de um momento angular
são simultaneamente próprios de e com autovalores e , onde . - Para duas partículas teremos operadores
e o momento total . Vou explicar as bases relevantes e como passar de uma para outra.
- Operadores momento angular
Passo 2
Conceitos essenciais e propriedades dos operadores (aula rápida, sem pular etapas).
- Definição: quando se tem dois momentos angulares quânticos
e , define-se o momento total
Cada
satisfaz as relações de comutação próprias e comuta com o módulo quadrado do outro:
para quaisquer componentes
.
- Observáveis compatíveis: os operadores
, , e formam um conjunto compatível, ou seja
e portanto existem bases simultâneas de autofunções comuns a esses operadores. No entanto
e
não comutam com
separadamente (apenas com
e seus próprios módulos).
- Eigenvalores conhecidos: se
é estado próprio de e com autovalores e , análogo para . A base não acoplada é .
Passo 3
Regra geral dos valores possíveis do momento total (o “triângulo” quântico).
- A ideia geométrica: classica e quanticamente o módulo do vetor resultante fica entre a diferença e a soma dos módulos. Em QM isso vira a regra
ou seja
toma todos os valores inteiros ou semi-inteiros entre
e
com passo
.
- Justificativa rápida (raciocínio com escada/ladder): existe um estado com componente máxima de momento total
obtido por . Esse estado tem e, portanto, é um autostado de com . Aplicando sucessivamente gera estados com . Ao procurar outros valores de observa-se que o menor possível é . Isso dá a lista completa acima. - Valores de
: para cada os valores de são , e sempre vale a regra explícita de conservação da projeção:
Logo somente combinações com
entram em cada estado com projeção
.
Passo 4
Bases úteis: base não acoplada e base acoplada; transformação entre elas (Clebsch–Gordan).
- Base não acoplada:
. Nessa base, são diagonais. - Base acoplada:
. Nessa base, são diagonais (útil para simetrias do problema). - Transformação: a mudança de base é feita com os coeficientes de Clebsch–Gordan:
onde os números
são os coeficientes de Clebsch–Gordan (CG). Eles satisfazem as regras de seleção:
- são zero, a menos que
; - existem relações de ortonormalidade (somando sobre
ou sobre ). - Interpretação prática: para construir um estado com
no exame, somar todas as componentes com e os pesos dados pelos CG (normalizados).
Passo 5
Propriedades úteis e contagem de estados (cheque rápido que fecha).
- Dimensão do espaço: produto das dimensões dos espaços individuais é
. - Soma das degenerescências dos níveis
obtidos pela adição dá o mesmo número:
Breve demonstração: soma aritmética de progressão (ou prova por contagem de estados) — isso garante que não “perdemos” nem “ganhamos” estados ao trocar de base.
- Observação sobre operadores:
não comuta com nem com em geral, por isso um estado não é, em geral, autovetor de .
Passo 6
Exemplo concreto 1: dois spins
— construção passo a passo (aquele exemplo obrigatório na prova).
- Dados:
. Espaço total dimensiona . - Possíveis
(total de spin) segundo a regra do Passo 3:
- Estados acoplados e sua expressão em termos da base não acoplada
e : - Triplete (
, três estados)
- Triplete (
- Singuleto (
, um estado) - Propriedade física:
age sobre esses estados com autovalores : triplete tem e singuleto tem . O singuleto é antisymétrico sob troca de partículas; o triplete é simétrico (importante para fermions e princípios de exclusão).
Passo 7
Exemplo concreto 2: adição de dois momentos orbitais
e
.
- Regra: exatamente igual aos spins, pois
satisfaz as mesmas relações de comutação. O total orbital
tem
.
- Exemplo:
(dois electrões em orbitais ). Então . Para cada existem valores de . Ao contar todas as combinações — conferindo . - Observação sobre paridade: a paridade total do par de orbitais é
. Se precisar do sinal sob inversão espacial, use isso.
Passo 8
Momento angular total: acoplando orbital e spin (uma partícula) e depois (duas partículas).
- Para uma única partícula:
. Se e são fixos, assume os valores
Exemplo: um elétron em orbital
tem
e
, logo
ou
(duas subcamadas
e
— familiar em átomos).
- Para duas partículas com orbital e spin, há duas formas comuns de agrupar:
- Esquema LS (Russell–Saunders): primeiro acopla-se os momentos orbitais das partículas para obter
; acopla-se os spins para obter ; então acopla-se . Isto é apropriado quando interações spin-órbita são fracas comparadas às interações entre elétrons (átomos leves). - Esquema jj: primeiro forma-se
e (spin-órbita forte em cada elétron) e depois soma-se . Apropriado em átomos pesados onde acoplamento spin-órbita é forte.
- Esquema LS (Russell–Saunders): primeiro acopla-se os momentos orbitais das partículas para obter
- Em qualquer esquema a regra de valores possíveis e a técnica de construção por Clebsch–Gordan é a mesma; apenas a sequência de acoplamento muda e isso afeta a identificação dos estados e a interpretação física.
Passo 9
Exemplo prático combinando tudo: dois elétrons em p-orbitais (
,
) — como proceder no exame.
- Passos práticos sugeridos:
- Combine spins:
. - Combine orbitais:
. - Para cada par
, combine .
- Combine spins:
- Exemplo de contagem: possibilidades
e respectivos : -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Isso gera os vários termos espectroscópicos possíveis; contar os estados deve dar o total corretoestados quando se inclui todas as projeções .
-
- Nota: para elétrons (férmions) deve-se impor anti-simetria total da função de onda (spin × espacial), o que elimina algumas combinações dependendo da simetria espacial.
Passo 10
Como calcular na prática os coeficientes de Clebsch–Gordan (dicas de prova e calculo manual rápido).
- Em provas costuma-se:
- Usar a regra
para identificar quais combinações entram. - Começar pelo estado de maior
(onde apenas uma combinação é possível) e aplicar operadores para gerar os outros; isso permite determinar coeficientes relativos. - Usar normalização
.
- Usar a regra
- Métodos rápidos: tabelas, algoritmos (recurrence relations) ou fórmulas explícitas (Racah formula). Na prova, memorizar os CG mais comuns (ex.: dois spins
) é muito útil.
Passo 11
Resumo prático e “checklist” para a prova (passos que eu seguiria na sua cadeira, bem objetivos):
- Identifique os momentos angulares individuais
(pode ser ou ou de cada partícula). - Liste os possíveis
usando a regra do triângulo . - Determine quais projeções
podem ocorrer ( ). - Escolha a base conveniente: não acoplada (bom para operadores locais
) ou acoplada (bom para ). - Construa estados de maior
e desça com para obter outros; normalize usando . - Use simetrias (paridade, simetria/antissimetria para fermions) para eliminar combinações não permitidas.
- Se preciso de valores numéricos de CG pesados, recorra a tabela/algoritmo (mas para pequenos casos, faça à mão).
Resposta
A adição de momentos angulares quânticos
dá valores possíveis para
segundo a regra
com projeções
. As bases envolvidas são a base não acoplada
e a base acoplada
, conectadas pelos coeficientes de Clebsch–Gordan
. Para spins, por exemplo dois spins
, os estados acoplados são o triplete
e o singuleto
Para momentos orbitais
aplica-se a mesma regra (ex.:
). O momento angular total que combina orbital e spin segue igualmente
. Em sistemas com várias partículas usa-se esquemas de acoplamento (LS ou jj) dependendo da força relativa das interações (spin-órbita versus interações entre partículas). Na prática de prova: liste os
, aplique
, construa o estado de maior
e use
e normalização para obter os demais coeficientes (ou consulte tabelas de Clebsch–Gordan).