sendo A_{l, m} e B_{l, m} constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.
a) Determine estas constantes impondo que o potencial eletrostático \psi(r, \theta, \varphi) satisfaça as seguintes condições de contorno: (1) finito na origem; (2) seja uma função V(\theta, \varphi) na casca esférica ( r=a ).
b) Assuma V(\theta, \varphi)=\cos \varphi \sin \theta e calcule os coeficientes explicitamente.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
O enunciado fornece a solução geral da equação de Laplace em coordenadas esféricas:
Na casca esférica de raio a a função deve assumir \psi(a,\theta,\varphi)=V(\theta,\varphi).
Duas perguntas:
(a) Determinar as constantes A_{l,m} e B_{l,m} que satisfazem as duas condições acima (em termos de V).
(b) Para o caso específico V(\theta,\varphi)=\cos\varphi\sin\theta, calcular explicitamente os coeficientes e escrever a solução \psi(r,\theta,\varphi).
Passo 2
Análise da condição de regularidade na origem e consequências para os coeficientes.
Lembrete prático: os termos da solução geral têm comportamento em r do tipo r^{l} (regular em r=0) e r^{-(l+1)} (singular em r=0).
A condição “finito na origem” impõe que todos os termos singulares desapareçam. Logo, para a região interior à casca (que inclui r=0) devemos ter
B_{l,m}=0\quad\text{para todo }l,m.
Assim, dentro da esfera (região 0\le r\le a) a solução regular reduz-se a
onde \mathrm{d}\Omega=\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi e o traço de integração é sobre a esfera.
Projeção de V sobre \overline{Y_{l}^{m}} fornece o coeficiente correspondente. Multiplicando a expansão por \overline{Y_{l}^{m}} e integrando sobre a esfera obtemos:
Explicação didática: essa fórmula é a mesma ideia de “coeficiente de Fourier” — projeta-se a função V sobre cada modo Y_{l}^{m} usando a ortonormalidade para isolar cada A_{l,m}.
Passo 4
Preparação para o caso específico V(\theta,\varphi)=\cos\varphi\sin\theta. Identificar quais l,m aparecem.
Observação prática: \sin\theta\cos\varphi depende de \theta como \sin\theta e de \varphi como \cos\varphi=\tfrac{1}{2}\left(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}\right). Assim essa função tem componente angular com fator e^{\pm i\varphi}, ou seja, corresponde a modos com m=\pm1. Em termos de l, a dependência \sin\theta corresponde ao caso l=1. Logo só teremos contribuições em l=1, m=\pm1.
Para encontrar coeficientes concretos é útil lembrar as expressões padrão (convenção de Condon–Shortley) para os harmônicos com l=1:
Usando a decomposição que encontramos para V, observe que a condição na superfície foi A_{1,m}a\,Y_{1}^{m}= (\text{combinação}) = Vçã. Isso implica a relação direta