A solução geral da equação de Laplace \left(\nabla^{2} \psi=0\right) em coordenadas esféricas é dada por:
\psi(r, \theta, \varphi)=\sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l}\left[A_{l, m} r^{l}+B_{l, m} r^{-(l+1)}\right] Y_{l}^{m}(\theta, \varphi)
sendo A_{l, m} e B_{l, m} constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.
a) Determine estas constantes impondo que o potencial eletrostático \psi(r, \theta, \varphi) satisfaça as seguintes condições de contorno: (1) finito na origem; (2) seja uma função V(\theta, \varphi) na casca esférica ( r=a ).
b) Assuma V(\theta, \varphi)=\cos \varphi \sin \theta e calcule os coeficientes explicitamente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e as informações dadas.
  • O enunciado fornece a solução geral da equação de Laplace em coordenadas esféricas:
\psi(r,\theta,\varphi)=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}\left[A_{l,m}r^{l}+B_{l,m}r^{-(l+1)}\right]Y_{l}^{m}(\theta,\varphi).
  • São impostas as condições de contorno:
    1. \psi deve ser finito na origem r=0.
    2. Na casca esférica de raio a a função deve assumir \psi(a,\theta,\varphi)=V(\theta,\varphi).
  • Duas perguntas:
    (a) Determinar as constantes A_{l,m} e B_{l,m} que satisfazem as duas condições acima (em termos de V).
    (b) Para o caso específico V(\theta,\varphi)=\cos\varphi\sin\theta, calcular explicitamente os coeficientes e escrever a solução \psi(r,\theta,\varphi).

Passo 2

Análise da condição de regularidade na origem e consequências para os coeficientes.
  • Lembrete prático: os termos da solução geral têm comportamento em r do tipo r^{l} (regular em r=0) e r^{-(l+1)} (singular em r=0).
  • A condição “finito na origem” impõe que todos os termos singulares desapareçam. Logo, para a região interior à casca (que inclui r=0) devemos ter
B_{l,m}=0\quad\text{para todo }l,m.
  • Assim, dentro da esfera (região 0\le r\le a) a solução regular reduz-se a
\psi(r,\theta,\varphi)=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}A_{l,m}\,r^{l}Y_{l}^{m}(\theta,\varphi).
Aqui expliquei por que os B_{l,m} devem ser nulos: qualquer r^{-(l+1)} diverge quando r\to0, logo são proibidos pela condição de finitude.

Passo 3

Impor a condição de contorno na superfície r=a e obter fórmula para A_{l,m}.
  • Na superfície r=a vale \psi(a,\theta,\varphi)=V(\theta,\varphi). Substituindo a forma regular:
V(\theta,\varphi)=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}A_{l,m}\,a^{l}Y_{l}^{m}(\theta,\varphi).
  • Os harmônicos esféricos complexos Y_{l}^{m} formam uma base ortonormal no espaço das funções quadrado-integráveis sobre a esfera com a normalização
\int_{S} Y_{l}^{m}(\theta,\varphi)\,\overline{Y_{l'}^{m'}(\theta,\varphi)}\,\mathrm{d}\Omega=\delta_{ll'}\delta_{mm'},
onde \mathrm{d}\Omega=\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi e o traço de integração é sobre a esfera.
  • Projeção de V sobre \overline{Y_{l}^{m}} fornece o coeficiente correspondente. Multiplicando a expansão por \overline{Y_{l}^{m}} e integrando sobre a esfera obtemos:
\int_{S}V(\theta,\varphi)\,\overline{Y_{l}^{m}(\theta,\varphi)}\,\mathrm{d}\Omega = A_{l,m}\,a^{l}.
  • Portanto, a fórmula geral para os coeficientes é
A_{l,m}=a^{-l}\int_{S}V(\theta,\varphi)\,\overline{Y_{l}^{m}(\theta,\varphi)}\,\mathrm{d}\Omega, \qquad B_{l,m}=0.
Explicação didática: essa fórmula é a mesma ideia de “coeficiente de Fourier” — projeta-se a função V sobre cada modo Y_{l}^{m} usando a ortonormalidade para isolar cada A_{l,m}.

Passo 4

Preparação para o caso específico V(\theta,\varphi)=\cos\varphi\sin\theta. Identificar quais l,m aparecem.
  • Observação prática: \sin\theta\cos\varphi depende de \theta como \sin\theta e de \varphi como \cos\varphi=\tfrac{1}{2}\left(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}\right). Assim essa função tem componente angular com fator e^{\pm i\varphi}, ou seja, corresponde a modos com m=\pm1. Em termos de l, a dependência \sin\theta corresponde ao caso l=1. Logo só teremos contribuições em l=1, m=\pm1.
  • Para encontrar coeficientes concretos é útil lembrar as expressões padrão (convenção de Condon–Shortley) para os harmônicos com l=1:
Y_{1}^{0}(\theta,\varphi)=\sqrt{\dfrac{3}{4\pi}}\cos\theta,
Y_{1}^{\pm1}(\theta,\varphi)=\mp\sqrt{\dfrac{3}{8\pi}}\,\sin\theta\,e^{\pm i\varphi}.
  • Usando essas expressões, podemos escrever \sin\theta\cos\varphi como combinação linear de Y_{1}^{1} e Y_{1}^{-1}. Vamos construir essa combinação.

Passo 5

Decompor V(\theta,\varphi)=\sin\theta\cos\varphi em harmônicos Y_{1}^{m} e obter A_{1,m}.
  • Primeiro escreva \cos\varphi em termos exponenciais e agrupe:
\sin\theta\cos\varphi=\frac{1}{2}\sin\theta\left(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}\right).
  • Use as fórmulas de Y_{1}^{\pm1}. Reescrevendo:
\sin\theta\,e^{i\varphi}=-\sqrt{\dfrac{8\pi}{3}}\,Y_{1}^{1},\qquad \sin\theta\,e^{-i\varphi}=+\sqrt{\dfrac{8\pi}{3}}\,Y_{1}^{-1},
porque Y_{1}^{1}=-\sqrt{\tfrac{3}{8\pi}}\sin\theta\,e^{i\varphi} e Y_{1}^{-1}=+\sqrt{\tfrac{3}{8\pi}}\sin\theta\,e^{-i\varphi}.
  • Substituindo na expressão de V:
\sin\theta\cos\varphi=\frac{1}{2}\left(-\sqrt{\dfrac{8\pi}{3}}\,Y_{1}^{1}+\sqrt{\dfrac{8\pi}{3}}\,Y_{1}^{-1}\right) =\sqrt{\dfrac{8\pi}{3}}\;\frac{1}{2}\left(Y_{1}^{-1}-Y_{1}^{1}\right).
  • Portanto, na expansão em harmônicos só aparecem l=1,m=\pm1 e os coeficientes na superfície r=a satisfazem
A_{1,-1}\,a^{1}=\sqrt{\dfrac{8\pi}{3}}\;\frac{1}{2},\qquad A_{1,1}\,a^{1}=-\sqrt{\dfrac{8\pi}{3}}\;\frac{1}{2},
e todos os outros A_{l,m}=0 para (l,m)\neq(1,\pm1).
  • Isolando A_{1,m}:
A_{1,-1}=\frac{1}{a}\sqrt{\dfrac{8\pi}{3}}\;\frac{1}{2},\qquad A_{1,1}=-\frac{1}{a}\sqrt{\dfrac{8\pi}{3}}\;\frac{1}{2}.
  • Confirmando o sinal e fatores: esses valores são exatamente o resultado da projeção direta usando a ortonormalidade, portanto consistentes.

Passo 6

Escrever a solução \psi(r,\theta,\varphi) para V=\sin\theta\cos\varphi e simplificar.
  • Como só aparecem os termos com l=1 e B_{l,m}=0, a solução interior é
\psi(r,\theta,\varphi)=\sum_{m=-1}^{1}A_{1,m}\,r\,Y_{1}^{m}(\theta,\varphi).
  • Usando a decomposição que encontramos para V, observe que a condição na superfície foi A_{1,m}a\,Y_{1}^{m}= (\text{combinação}) = Vçã. Isso implica a relação direta
\psi(r,\theta,\varphi)=\frac{r}{a}\,V(\theta,\varphi).
  • Portanto, para o caso V(\theta,\varphi)=\sin\theta\cos\varphi a solução final é
\psi(r,\theta,\varphi)=\frac{r}{a}\sin\theta\cos\varphi, \qquad(0\le r\le a).
  • Se for necessário escrever em termos dos coeficientes A_{1,\pm1} e dos harmônicos:
\psi(r,\theta,\varphi)=A_{1,-1}\,r\,Y_{1}^{-1}(\theta,\varphi)+A_{1,1}\,r\,Y_{1}^{1}(\theta,\varphi),
com A_{1,-1} e A_{1,1} dados no Passo 5 e todos os outros nulos.

Resposta

(a) B_{l,m}=0 para todo l,m. \displaystyle A_{l,m}=a^{-l}\int_{S}V(\theta,\varphi)\,\overline{Y_{l}^{m}(\theta,\varphi)}\,\mathrm{d}\Omega.
(b) Para V(\theta,\varphi)=\sin\theta\cos\varphi:
A_{1,-1}=\frac{1}{a}\sqrt{\dfrac{8\pi}{3}}\;\frac{1}{2},\qquad A_{1,1}=-\frac{1}{a}\sqrt{\dfrac{8\pi}{3}}\;\frac{1}{2},
todos os outros A_{l,m}=0 e todos os B_{l,m}=0. A solução é
\psi(r,\theta,\varphi)=\frac{r}{a}\sin\theta\cos\varphi \quad(0\le r\le a).

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