A média de altura mundial é a mesma média de altura dos brasileiros. Em uma amostra de 31 brasileiros foi constatado que o desvio padrão amostral das alturas do brasileiros é de 0,3 m. Construa um Intervalo de Confiança com nível de 95 % para a variância populacional das alturas dos brasileiros.

Passo 1

Então, temos um exercício de estatística onde precisamos construir um Intervalo de Confiança de 95% para a variância das alturas dos brasileiros. A gente sabe que a média das alturas no mundo é a mesma dos brasileiros e que, numa amostra de 31 brasileiros, o desvio padrão foi de 0,3 m. Para resolver isso, vamos precisar usar a distribuição qui-quadrado (χ²) e algumas fórmulas de estatística para variância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para construir um intervalo de confiança para a variância, usamos a distribuição qui-quadrado. Essa distribuição é útil quando estamos lidando com variâncias e quando a amostra vem de uma população normalmente distribuída.

Passo 3

A fórmula para o intervalo de confiança da variância ( sigma^2) é:
( (n - 1)s^2chi^2alpha/2, (n - 1)s^2chi^21 - alpha/2 )
Onde:
  • n é o tamanho da amostra
  • s^2 é a variância amostral
  • chi^2alpha/2 e chi^21 - alpha/2 são os valores críticos da distribuição qui-quadrado para os níveis de confiança desejados

Passo 4

Vamos identificar os valores que já temos:
  • Tamanho da amostra, n = 31
  • Desvio padrão amostral, s = 0,3 m, então a variância amostral s^2 = (0,3)^2 = 0,09 m^2
  • Nível de confiança, 95%, então alpha = 1 - 0,95 = 0,05

Passo 5

O próximo passo é encontrar os valores críticos chi^2alpha/2 e chi^21 - alpha/2 para df = n - 1 = 30 graus de liberdade. Isso geralmente é feito usando tabelas de distribuição qui-quadrado ou uma calculadora estatística.
Para df = 30 e alpha/2 = 0,025:
  • chi^20,025 approx 16,791
  • chi^20,975 approx 46,979

Passo 6

Agora, substituímos esses valores na fórmula do intervalo de confiança:
( (31 - 1) times 0,0946,979, (31 - 1) times 0,0916,791 )

Passo 7

Vamos calcular os limites inferior e superior:
Para o limite inferior:
30 times 0,0946,979 = 2,746,979 approx 0,0573 m^2
Para o limite superior:
30 times 0,0916,791 = 2,716,791 approx 0,1607 m^2

Resposta

O Intervalo de Confiança de 95% para a variância populacional das alturas dos brasileiros é aproximadamente (0,0573 m^2, 0,1607 m^2).

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