Em média, quatro pessoas por hora utilizam o serviço de caixa-automático de um banco. Qual a probabilidade de que:
Exatamente três usaram o serviço em uma hora qualquer?
Exatamente três usaram o serviço em uma hora qualquer?
Passo 1
O enunciado diz que, em média, quatro pessoas por hora utilizam o serviço do caixa-automático. A pergunta é: qual a probabilidade de que exatamente três pessoas usem o serviço em uma hora qualquer?
Informações relevantes: A média (esperança) de usuários por hora é
.
Informações relevantes:
Passo 2
Agora vamos escolher um modelo probabilístico adequado. Quando você tem eventos discretos (pessoas chegando) contados em um intervalo de tempo fixo, com uma taxa média conhecida e assumindo que as chegadas são independentes e “espalhadas” no tempo (não vêm em rajadas dependentes entre si), o modelo padrão é a distribuição de Poisson. Vou explicar isso devagarinho.
- A distribuição de Poisson descreve o número de ocorrências
em um intervalo fixo quando conhecemos a média esperada nesse intervalo. - A variável
toma valores . - A interpretação prática: se em média esperam-se
eventos por hora, é razoável modelar o número de eventos em uma hora por Poisson( ).
Aqui temos(média 4 pessoas por hora), então Poisson( ). Não se assusta com o nome — a fórmula é simples.
Passo 3
A fórmula da probabilidade de Poisson é esta (vou explicar cada símbolo):
onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos; -
é a média (esperança) no intervalo considerado; -
(fatorial de ) é o produto ; -
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente .
Vamos aplicar come .
Passo 4
Substituindo na fórmula:
Calculemos passo a passo:
-
. -
.
Logo
Podemos simplificar a fração:
. Assim
Isto é a forma exata (bonitinha) da probabilidade.
Passo 5
Agora vamos obter uma aproximação numérica — útil na prova se for pedido valor decimal. Primeiro precisamos de
. Sabendo que
, temos
Multiplicando:
Passo 6
Interpretação final: a probabilidade de exatamente três pessoas usarem o caixa em uma hora, quando a média é quatro por hora, é cerca de
, ou seja, aproximadamente
. Isso significa que, em muitos períodos de uma hora, cerca de 19 a 20 em cada 100 horas você verá exatamente três usuários.
Passo 7
Dica de prova (amigo tranquilo): memorize a fórmula de Poisson e pratique substituir
e
. Para cálculo rápido sem muita precisão, é útil lembrar que
e que
, daí o produto dá ~
. Respira fundo e faz passo a passo — funciona sempre.