Em média, quatro pessoas por hora utilizam o serviço de caixa-automático de um banco. Qual a probabilidade de que:
Exatamente três usaram o serviço em uma hora qualquer?

Passo 1

O enunciado diz que, em média, quatro pessoas por hora utilizam o serviço do caixa-automático. A pergunta é: qual a probabilidade de que exatamente três pessoas usem o serviço em uma hora qualquer?
Informações relevantes: A média (esperança) de usuários por hora é \lambda=4 .

Passo 2

Agora vamos escolher um modelo probabilístico adequado. Quando você tem eventos discretos (pessoas chegando) contados em um intervalo de tempo fixo, com uma taxa média conhecida e assumindo que as chegadas são independentes e “espalhadas” no tempo (não vêm em rajadas dependentes entre si), o modelo padrão é a distribuição de Poisson. Vou explicar isso devagarinho.
  • A distribuição de Poisson descreve o número de ocorrências X em um intervalo fixo quando conhecemos a média esperada \lambda nesse intervalo.
  • A variável X toma valores 0,1,2,\dots.
  • A interpretação prática: se em média esperam-se \lambda eventos por hora, é razoável modelar o número de eventos em uma hora por Poisson( \lambda).
    Aqui temos \lambda=4 (média 4 pessoas por hora), então X\sim Poisson( 4). Não se assusta com o nome — a fórmula é simples.

Passo 3

A fórmula da probabilidade de Poisson é esta (vou explicar cada símbolo):
P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}
onde:
  • P(X=k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos;
  • \lambda é a média (esperança) no intervalo considerado;
  • k! (fatorial de k) é o produto 1\cdot2\cdot3\cdots k;
  • e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2{,}71828.
    Vamos aplicar com k=3 e \lambda=4.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
P(X=3)=e^{-4}\frac{4^{3}}{3!}.
Calculemos passo a passo:
  • 4^{3}=4\cdot4\cdot4=64.
  • 3!=1\cdot2\cdot3=6.
    Logo
P(X=3)=e^{-4}\frac{64}{6}.
Podemos simplificar a fração: \dfrac{64}{6}=\dfrac{32}{3}. Assim
P(X=3)=\frac{32}{3}e^{-4}.
Isto é a forma exata (bonitinha) da probabilidade.

Passo 5

Agora vamos obter uma aproximação numérica — útil na prova se for pedido valor decimal. Primeiro precisamos de e^{-4}. Sabendo que e^{4}\approx54{,}59815, temos
e^{-4}\approx\frac{1}{54{,}59815}\approx0{,}018315\.
Multiplicando:
\frac{32}{3}\approx10{,}6666667,
10{,}6666667\times0{,}018315\approx0{,}195366\.

Passo 6

Interpretação final: a probabilidade de exatamente três pessoas usarem o caixa em uma hora, quando a média é quatro por hora, é cerca de 0{,}1954, ou seja, aproximadamente 19{,}54\%. Isso significa que, em muitos períodos de uma hora, cerca de 19 a 20 em cada 100 horas você verá exatamente três usuários.

Passo 7

Dica de prova (amigo tranquilo): memorize a fórmula de Poisson e pratique substituir \lambda e k. Para cálculo rápido sem muita precisão, é útil lembrar que e^{-4}\approx0{,}0183 e que 4^{3}/3!=64/6\approx10{,}6667, daí o produto dá ~ 0{,}195. Respira fundo e faz passo a passo — funciona sempre.

Resposta

\displaystyle P(X=3)=\frac{32}{3}e^{-4}\approx0{,}1954

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