Em média, quatro pessoas por hora utilizam o serviço de caixa-automático de um banco. Qual a probabilidade de que:
Exatamente duas usaram o serviço em 15 minutos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo:
  • Informação: Em média, quatro pessoas por hora utilizam o serviço de caixa-automático do banco.
  • Informação: Queremos a probabilidade para um intervalo de tempo de 15 minutos.
  • Pergunta: Qual a probabilidade de que exatamente duas pessoas tenham usado o serviço em 15 minutos?

Passo 2

Vamos traduzir as informações em quantidades numéricas que podemos usar. Primeiro converto a taxa média para o intervalo de interesse:
  • A taxa média é de 4 pessoas por 1 hora.
  • 15 minutos equivalem a 0,25 horas.
  • Logo a média esperada de pessoas em 15 minutos é
\mu = 4 \cdot 0,25.

Passo 3

Faço a conta para obter a média no intervalo:
\mu = 4 \cdot 0,25 = 1.
Isto significa que, em média, esperamos 1 pessoa em 15 minutos.

Passo 4

Agora preciso de uma fórmula para obter a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos quando a média é \mu. A distribuição adequada para contagem de eventos raros em intervalos fixos é dada pela fórmula
P(N=k)=\frac{\mu^{k} e^{-\mu}}{k!},
onde:
  • N é a variável aleatória que conta o número de eventos no intervalo (aqui: pessoas que usaram o caixa),
  • k é o número de eventos que queremos (aqui: k=2),
  • \mu é a média esperada no intervalo (aqui: \mu=1),
  • e é a base dos logaritmos naturais,
  • k! é o fatorial de k (por exemplo, 2! = 2\cdot1 = 2).
(Aqui eu usei essa fórmula porque temos uma média por unidade de tempo constante e estamos contando ocorrências em um intervalo fixo — essas são as condições que justificam usar essa distribuição.)

Passo 5

Aplicando a fórmula com \mu=1 e k=2:
P(N=2)=\frac{1^{2} e^{-1}}{2!}.

Passo 6

Calculo o fatorial e simplifico:
2! = 2,
1^{2}=1,
portanto
P(N=2)=\frac{e^{-1}}{2}.

Passo 7

Faço uma aproximação numérica para dar um valor mais palpável. Sabemos que e^{-1}\approx0,36787944, então
P(N=2)\approx\frac{0,36787944}{2}\approx0,18393972.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo: isso quer dizer que, dado que em média chega 1 pessoa em 15 minutos, a chance de chegarem exatamente 2 nesse intervalo é cerca de 18{,}39\%. Tá indo bem — resultados assim aparecem direto em prova se você reconhecer a situação e lembrar a fórmula.

Resposta

\dfrac{e^{-1}}{2}\approx0,18393972

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