Em média, quatro pessoas por hora utilizam o serviço de caixa-automático de um banco. Qual a probabilidade de que:
Exatamente duas usaram o serviço em 15 minutos?
Exatamente duas usaram o serviço em 15 minutos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo:
- Informação: Em média, quatro pessoas por hora utilizam o serviço de caixa-automático do banco.
- Informação: Queremos a probabilidade para um intervalo de tempo de 15 minutos.
- Pergunta: Qual a probabilidade de que exatamente duas pessoas tenham usado o serviço em 15 minutos?
Passo 2
Vamos traduzir as informações em quantidades numéricas que podemos usar. Primeiro converto a taxa média para o intervalo de interesse:
- A taxa média é de
pessoas por hora. -
minutos equivalem a horas. - Logo a média esperada de pessoas em
minutos é
Passo 3
Faço a conta para obter a média no intervalo:
Isto significa que, em média, esperamos
pessoa em
minutos.
Passo 4
Agora preciso de uma fórmula para obter a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos quando a média é
. A distribuição adequada para contagem de eventos raros em intervalos fixos é dada pela fórmula
onde:
-
é a variável aleatória que conta o número de eventos no intervalo (aqui: pessoas que usaram o caixa), -
é o número de eventos que queremos (aqui: ), -
é a média esperada no intervalo (aqui: ), -
é a base dos logaritmos naturais, -
é o fatorial de (por exemplo, ).
(Aqui eu usei essa fórmula porque temos uma média por unidade de tempo constante e estamos contando ocorrências em um intervalo fixo — essas são as condições que justificam usar essa distribuição.)
Passo 5
Aplicando a fórmula com
e
:
Passo 6
Calculo o fatorial e simplifico:
portanto
Passo 7
Faço uma aproximação numérica para dar um valor mais palpável. Sabemos que
, então
Passo 8
Interpretação curta e incentivo: isso quer dizer que, dado que em média chega 1 pessoa em 15 minutos, a chance de chegarem exatamente 2 nesse intervalo é cerca de
. Tá indo bem — resultados assim aparecem direto em prova se você reconhecer a situação e lembrar a fórmula.