Questão 19. Suponha que um manuscrito de um livro texto tenha um total de 50 erros nas 500 páginas de material. Se os textos são distribuídos aleatoriamente ao longo do texto, qual a probabilidade de encontrar dois erros em uma página qualquer?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Há um total de 50 erros distribuídos aleatoriamente em 500 páginas.
  • Pergunta: qual a probabilidade de encontrar exatamente dois erros em uma página qualquer?

Passo 2

Vamos decidir como modelar isso (sem resolver ainda). A ideia é tratar os erros como eventos raros que ocorrem independentemente ao longo das páginas. Dois modelos possíveis seriam:
  • modelo binomial: conta número de erros em uma página como “sucesso” com probabilidade p numa amostra pequena — mas aqui não faz sentido dividir as páginas em ensaios independentes discretos para cada erro facilmente;
  • modelo de Poisson: usado para contagem de eventos raros em um intervalo (aqui, uma página) quando conhecemos a taxa média de eventos por intervalo e os eventos são raros e independentes.
Como temos um total grande de páginas ( 500) e relativamente poucos erros ( 50), e o enunciado fala em distribuição aleatória ao longo do texto, o modelo de Poisson é o mais natural e simples. Vou usar Poisson.

Passo 3

Apresento a distribuição de Poisson e a fórmula que vamos usar. A variável aleatória que conta o número de erros numa página será chamada de X. Se X segue uma Poisson com parâmetro \lambda, escrevemos
X \sim \text{Poisson}(\lambda).
A fórmula para a probabilidade de X assumir exatamente k ocorrências é
P(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!}.
Explicando cada símbolo:
  • \lambda é a média (esperança) do número de eventos por intervalo (aqui: por página).
  • k é o número de eventos cujo valor queremos (aqui k=2).
  • e é a base dos logaritmos naturais (aproximadamente 2,71828).
  • k! é o fatorial de k (por exemplo 2!=2).

Passo 4

Calcular \lambda, a taxa média de erros por página. Temos 50 erros em 500 páginas, então a média por página é
\lambda=\frac{50}{500}=0{,}1.

Passo 5

Usar a fórmula da Poisson com \lambda=0{,}1 e k=2:
P(X=2)=e^{-0{,}1}\,\frac{(0{,}1)^{2}}{2!}.
Agora calcule passo a passo:
  • (0{,}1)^{2}=0{,}01.
  • 2!=2.
  • Logo \dfrac{(0{,}1)^{2}}{2!}=\dfrac{0{,}01}{2}=0{,}005.
  • Precisamos de e^{-0{,}1}. Um valor numérico conhecido é e^{-0{,}1}\approx 0{,}904837418.

Passo 6

Multiplicando:
P(X=2)\approx 0{,}904837418\times 0{,}005 \approx 0{,}00452418709.
Arredondando de forma prática, isso é aproximadamente 0{,}004524.
Interpretação rápida: isto equivale a cerca de 0{,}4524\% de chance de uma página ter exatamente dois erros — bem pequeno, como era de esperar, porque a média é só 0{,}1 erro por página.

Resposta

0{,}004524 (aprox 0{,}4524\%)

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