1. Um medidor de temperatura do tipo Pt-100 apresenta uma equação característica igual a descrita abaixo. Para um \mathbf{R}_{\mathbf{0}} igual a \mathbf{1 0 0} \boldsymbol{\Omega} para \mathbf{0}^{\circ} \mathbf{C}.
O medidor de resistência elétrica deste equipamento marca 85 \Omega, qual seria a temperatura deste processo?
\mathrm{R}_{\mathrm{T}}=\mathrm{R}_{0}\left[1+3,90802 \times 10^{-3} \mathrm{~T}-0,580195 \times 10^{-6} \mathrm{~T}^{2}-4,27350 \times 10^{-12}(\mathrm{~T}-100) \mathrm{T}^{3}\right]

Passo 1

O enunciado dá a equação característica de um sensor Pt-100, com R_{0}=100\,\Omega em 0^\circ\mathrm{C}, e pede a temperatura T quando ele marca R_{T}=85\,\Omega. O conteúdo é modelar a resistência em função de T e resolver numericamente uma equação polinomial. Vamos precisar reorganizar a equação, aproximar por um polinômio de segundo grau e depois refinar com um método iterativo (Newton).

Passo 2

Escrevendo a relação dada:
R_{T}=R_{0}\Bigl[1 + a\,T + b\,T^{2} + c\,(T-100)\,T^{3}\Bigr]
com
a = 3,90802\times10^{-3},\quad b = -0,580195\times10^{-6},\quad c = -4,27350\times10^{-12}.
Dividindo por R_{0} e igualando a 85/100=0,85, obtemos
0,85 = 1 + a\,T + b\,T^{2} + c\,(T-100)\,T^{3}.
Definimos a função
f(T) = a\,T + b\,T^{2} + c\,(T-100)\,T^{3} + 0,15,
de modo que buscamos T tal que f(T)=0.

Passo 3

Como o termo cúbico é muito pequeno para temperaturas na faixa de -50^\circ\mathrm{C} a 100^\circ\mathrm{C}, primeiro ignoramos c\,(T-100)\,T^{3} e resolvemos o quadrático
a\,T + b\,T^{2} + 0,15 = 0.
Isto é
-0,580195\times10^{-6}\,T^{2} + 3,90802\times10^{-3}\,T + 0,15 = 0.

Passo 4

Pela fórmula de Bhaskara, a solução viável (negativa) é
T_{0}\approx -38{,}15^\circ\mathrm{C}.
A outra raiz é muito alta e não faz sentido físico para Pt-100.

Passo 5

Para refinar, aplicamos uma iteração de Newton em f(T). Calculamos
f'(T)=a + 2\,b\,T + c\bigl[3\,(T-100)\,T^{2} + T^{3}\bigr],
avaliamos em T_{0} e definimos
T_{1} = T_{0} - \frac{f(T_{0})}{f'(T_{0})}.
Isso corrige para
T_{1}\approx -38{,}13^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A temperatura corresponde a aproximadamente
-38{,}13^\circ\mathrm{C}.

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