Para medir a largura de um rio, fincou-se uma estaca no chão na margem sul diretamente na direção sul de uma árvore na margem oposta. De um ponto a 100 metros a oeste da estaca, a árvore foi observada e o ângulo entre a reta visada e alinha leste-oeste foi medido. Qual é a largura do rio se este ângulo foi medido.
Passo 1
O enunciado pede a largura do rio. Dados fornecidos:
- Foi fincada uma estaca na margem sul exatamente ao sul de uma árvore na margem oposta (ou seja, a projeção vertical da árvore cai sobre a estaca).
- Há um ponto a
metros a oeste da estaca (chamarei esse ponto de ). - Do ponto
observou‑se a árvore e mediu‑se o ângulo entre a reta de visada e a linha leste‑oeste. Vou chamar esse ângulo de . - Pergunta: qual é a largura do rio (distância norte‑sul entre a estaca e a árvore)?
Passo 2
Para organizar: coloco um sistema de coordenadas simples.
- Ponho a estaca na origem
. - A árvore está diretamente ao norte da estaca, então sua coordenada é
, onde é a largura do rio que queremos achar. - O ponto
que fica m a oeste da estaca tem coordenada . - A reta de visada vai de
até a árvore . O ângulo é medido entre essa reta e a linha leste‑oeste (eixo horizontal).
Passo 3
Agora a ideia geométrica: os pontos
,
e
formam um triângulo retângulo quando projetamos a visada sobre os eixos. No triângulo com vértice em
:
- o cateto horizontal (adjacente ao ângulo
) tem comprimento m (vai de a ), - o cateto vertical (oposto ao ângulo
) tem comprimento (a largura do rio).
Na trigonometria de triângulo retângulo, a função tangente relaciona o ângulo com a razão entre cateto oposto e cateto adjacente:
Aqui isso vira
Passo 4
Isolando
fazemos operações algébricas simples: multiplicamos ambos os lados por
,
Essa é a fórmula que responde ao problema: a largura do rio em metros é
vezes a tangente do ângulo medido
.
Passo 5
Como o enunciado não deu o valor numérico de
, não dá para dar um número final. Para você ver como usar na prova, alguns exemplos práticos (para ângulos comuns):
- se
, então , logo
- se
, , logo . - se
, , logo .
Na prova: identifique o cateto oposto e o adjacente ao ângulo medido, escreva
e isole a incógnita. Calma — você já tem a receita pronta!