Para medir a largura de um rio, fincou-se uma estaca no chão na margem sul diretamente na direção sul de uma árvore na margem oposta. De um ponto a 100 metros a oeste da estaca, a árvore foi observada e o ângulo entre a reta visada e alinha leste-oeste foi medido. Qual é a largura do rio se este ângulo foi medido.

Passo 1

O enunciado pede a largura do rio. Dados fornecidos:
  • Foi fincada uma estaca na margem sul exatamente ao sul de uma árvore na margem oposta (ou seja, a projeção vertical da árvore cai sobre a estaca).
  • Há um ponto a 100 metros a oeste da estaca (chamarei esse ponto de P).
  • Do ponto P observou‑se a árvore e mediu‑se o ângulo entre a reta de visada e a linha leste‑oeste. Vou chamar esse ângulo de \theta.
  • Pergunta: qual é a largura do rio (distância norte‑sul entre a estaca e a árvore)?

Passo 2

Para organizar: coloco um sistema de coordenadas simples.
  • Ponho a estaca na origem (0,0).
  • A árvore está diretamente ao norte da estaca, então sua coordenada é (0,W), onde \;W\; é a largura do rio que queremos achar.
  • O ponto P que fica 100 m a oeste da estaca tem coordenada (-100,0).
  • A reta de visada vai de P=(-100,0) até a árvore (0,W). O ângulo \theta é medido entre essa reta e a linha leste‑oeste (eixo horizontal).

Passo 3

Agora a ideia geométrica: os pontos (-100,0), (0,0) e (0,W) formam um triângulo retângulo quando projetamos a visada sobre os eixos. No triângulo com vértice em P:
  • o cateto horizontal (adjacente ao ângulo \theta) tem comprimento 100 m (vai de x=-100 a x=0),
  • o cateto vertical (oposto ao ângulo \theta) tem comprimento W (a largura do rio).
    Na trigonometria de triângulo retângulo, a função tangente relaciona o ângulo com a razão entre cateto oposto e cateto adjacente:
\tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
Aqui isso vira
\tan(\theta)=\frac{W}{100}.

Passo 4

Isolando W fazemos operações algébricas simples: multiplicamos ambos os lados por 100,
W = 100\cdot \tan(\theta).
Essa é a fórmula que responde ao problema: a largura do rio em metros é 100 vezes a tangente do ângulo medido \theta.

Passo 5

Como o enunciado não deu o valor numérico de \theta, não dá para dar um número final. Para você ver como usar na prova, alguns exemplos práticos (para ângulos comuns):
  • se \theta=30^\circ, então \tan(30^\circ)=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\approx0,57735, logo
W=100\cdot\tfrac{1}{\sqrt{3}\,}\approx57{,}735\\ \text{m}.
  • se \theta=45^\circ, \tan(45^\circ)=1, logo W=100\\ \text{m}.
  • se \theta=60^\circ, \tan(60^\circ)=\sqrt{3}\approx1{,}732, logo W\approx173{,}2\\ \text{m}.
Na prova: identifique o cateto oposto e o adjacente ao ângulo medido, escreva \tan(\theta)=\dfrac{\text{oposto}}{\text{adjacente}} e isole a incógnita. Calma — você já tem a receita pronta!

Resposta

W = 100\cdot \tan(\theta)

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