Determine o domínio das seguintes funções, cujas leis são dadas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o domínio dessa função.
Informações relevantes: a expressão dentro da raiz é . Não há outras restrições explícitas (como denominação por zero). A questão é: para quais valores reais de
a expressão
está bem definida como número real?
Informações relevantes: a expressão dentro da raiz é
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): a raiz quadrada real
está definida somente para argumentos não negativos. Ou seja, para que
seja um número real precisamos ter
.
Aplicando isso aqui, o argumento é . Portanto precisamos exigir
Aplicando isso aqui, o argumento é
Passo 3
Agora vamos resolver a desigualdade
passo a passo. Subtraindo 3 dos dois lados:
Para isolar
multiplicamos ambos os lados por
. Lembre que, ao multiplicar (ou dividir) uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte. Assim:
Passo 4
Interpretação: todos os números reais menores ou iguais a
tornam o radicando não negativo, logo deixam
definido como número real. Em notação de conjunto:
Em notação de intervalos, que é mais usada em provas:
Passo 5
Checagem de pontos extremos (boa prática para a prova):
- Para
temos , que é válido. - Para
temos , que não é um número real, então está fora do domínio. Essas verificações confirmam a solução obtida.
Passo 6
Dica rápida para problemas parecidos na prova: se tiver
, forme a desigualdade
e resolva-a; se multiplicar/dividir por negativo ao manipular a desigualdade, lembre de inverter o sinal. Para raízes de índice par (4ª, 6ª, etc.) a regra é a mesma; para índice ímpar não há restrição de sinal do radicando.