Determine o domínio das seguintes funções, cujas leis são dadas abaixo:
f(x)=\sqrt{3-x}

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=\sqrt{3-x}\; e pede o domínio dessa função.
Informações relevantes: a expressão dentro da raiz é \;3-x\;. Não há outras restrições explícitas (como denominação por zero). A questão é: para quais valores reais de x a expressão \sqrt{3-x} está bem definida como número real?

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): a raiz quadrada real \sqrt{\cdot} está definida somente para argumentos não negativos. Ou seja, para que \sqrt{A} seja um número real precisamos ter \;A\ge 0.
Aplicando isso aqui, o argumento é \;3-x. Portanto precisamos exigir
3-x \ge 0.

Passo 3

Agora vamos resolver a desigualdade \;3-x \ge 0\; passo a passo. Subtraindo 3 dos dois lados:
3-x-3 \ge 0-3 \quad\Rightarrow\quad -x \ge -3.
Para isolar x multiplicamos ambos os lados por -1. Lembre que, ao multiplicar (ou dividir) uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte. Assim:
-x \ge -3 \quad\Rightarrow\quad x \le 3.

Passo 4

Interpretação: todos os números reais menores ou iguais a \;3\; tornam o radicando não negativo, logo deixam \sqrt{3-x} definido como número real. Em notação de conjunto:
\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\le 3\,\}.
Em notação de intervalos, que é mais usada em provas:
(-\infty,\,3].

Passo 5

Checagem de pontos extremos (boa prática para a prova):
  • Para x=3 temos \sqrt{3-3}=\sqrt{0}=0, que é válido.
  • Para x=4 temos \sqrt{3-4}=\sqrt{-1}, que não é um número real, então x=4 está fora do domínio. Essas verificações confirmam a solução obtida.

Passo 6

Dica rápida para problemas parecidos na prova: se tiver \sqrt{ax+b}, forme a desigualdade ax+b\ge 0 e resolva-a; se multiplicar/dividir por negativo ao manipular a desigualdade, lembre de inverter o sinal. Para raízes de índice par (4ª, 6ª, etc.) a regra é a mesma; para índice ímpar não há restrição de sinal do radicando.

Resposta

(-\infty,\,3]

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