A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. Uma pessoa tomou por engano uma dose de 2g desse antibiótico.
a) Calcule quanto tempo levará para que a substância deixe de existir no organismo dessa pessoa.
b) Determine a equação da função exponencial que fornece a quantidade Q(t) de amoxicilina que restará no corpo dessa pessoa no instante t.
c) Esboce o gráfico dessa função
a) Calcule quanto tempo levará para que a substância deixe de existir no organismo dessa pessoa.
b) Determine a equação da função exponencial que fornece a quantidade Q(t) de amoxicilina que restará no corpo dessa pessoa no instante t.
c) Esboce o gráfico dessa função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a meia-vida da amoxicilina, que é o tempo que ela leva para reduzir pela metade no corpo. Vamos usar esse conceito para calcular o tempo total para a substância desaparecer, achar a equação da quantidade de amoxicilina no corpo ao longo do tempo e desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender de função exponencial e o conceito de meia-vida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é meia-vida. A meia-vida é o tempo necessário para que a quantidade de uma substância reduza pela metade. No caso, a meia-vida da amoxicilina é de 1 hora.
Passo 3
Para calcular quanto tempo levará para a amoxicilina deixar de existir no organismo, precisamos saber quantas meias-vidas serão necessárias para que a quantidade fique praticamente zero. Tecnicamente, nunca chega a zero, mas após várias meias-vidas, a quantidade é insignificante.
Passo 4
Vamos considerar que após 5 meias-vidas, a quantidade de amoxicilina é praticamente inexistente. Como cada meia-vida é de 1 hora, multiplicamos 5 por 1 hora:
Passo 5
Agora, vamos determinar a equação da função exponencial que descreve a quantidade de amoxicilina no corpo ao longo do tempo. A forma geral da função de decaimento exponencial é:
Onde:
- $ Q(t) $ é a quantidade no tempo $ t $
- $ Q_0 $ é a quantidade inicial
- $ T_{1/2} $ é a meia-vida
Passo 6
Substituindo os valores que temos:
- $ Q_0 = 2 , g $
- $ T_{1/2} = 1 , hora $
A equação fica:
Passo 7
Por fim, para esboçar o gráfico dessa função, vamos plotar a quantidade de amoxicilina $ Q(t) $ em função do tempo $ t $. No eixo horizontal (x), colocamos o tempo em horas, e no eixo vertical (y), a quantidade em gramas. A curva começará em 2g e irá decrescendo exponencialmente, passando por 1g na 1ª hora, 0,5g na 2ª hora, e assim por diante.
Resposta
a) Levará aproximadamente 5 horas para que a amoxicilina deixe de existir no organismo.
b) A equação da função é $ Q(t) = 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t} $.
c) O gráfico dessa função é uma curva decrescente exponencial que começa em 2g e diminui pela metade a cada hora.
b) A equação da função é $ Q(t) = 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t} $.
c) O gráfico dessa função é uma curva decrescente exponencial que começa em 2g e diminui pela metade a cada hora.