A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. Uma pessoa tomou por engano uma dose de 2g desse antibiótico.
a) Calcule quanto tempo levará para que a substância deixe de existir no organismo dessa pessoa.
b) Determine a equação da função exponencial que fornece a quantidade Q(t) de amoxicilina que restará no corpo dessa pessoa no instante t.
c) Esboce o gráfico dessa função​

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a meia-vida da amoxicilina, que é o tempo que ela leva para reduzir pela metade no corpo. Vamos usar esse conceito para calcular o tempo total para a substância desaparecer, achar a equação da quantidade de amoxicilina no corpo ao longo do tempo e desenhar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender de função exponencial e o conceito de meia-vida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é meia-vida. A meia-vida é o tempo necessário para que a quantidade de uma substância reduza pela metade. No caso, a meia-vida da amoxicilina é de 1 hora.

Passo 3

Para calcular quanto tempo levará para a amoxicilina deixar de existir no organismo, precisamos saber quantas meias-vidas serão necessárias para que a quantidade fique praticamente zero. Tecnicamente, nunca chega a zero, mas após várias meias-vidas, a quantidade é insignificante.

Passo 4

Vamos considerar que após 5 meias-vidas, a quantidade de amoxicilina é praticamente inexistente. Como cada meia-vida é de 1 hora, multiplicamos 5 por 1 hora:
Tempo = 5 times 1 , hora = 5 , horas

Passo 5

Agora, vamos determinar a equação da função exponencial que descreve a quantidade de amoxicilina no corpo ao longo do tempo. A forma geral da função de decaimento exponencial é:
Q(t) = Q0 times (12)^tT1/2
Onde:
  • $ Q(t) $ é a quantidade no tempo $ t $
  • $ Q_0 $ é a quantidade inicial
  • $ T_{1/2} $ é a meia-vida

Passo 6

Substituindo os valores que temos:
  • $ Q_0 = 2 , g $
  • $ T_{1/2} = 1 , hora $
A equação fica:
Q0 = 2 , g

Passo 7

Por fim, para esboçar o gráfico dessa função, vamos plotar a quantidade de amoxicilina $ Q(t) $ em função do tempo $ t $. No eixo horizontal (x), colocamos o tempo em horas, e no eixo vertical (y), a quantidade em gramas. A curva começará em 2g e irá decrescendo exponencialmente, passando por 1g na 1ª hora, 0,5g na 2ª hora, e assim por diante.

Resposta

a) Levará aproximadamente 5 horas para que a amoxicilina deixe de existir no organismo.
b) A equação da função é $ Q(t) = 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{t} $.
c) O gráfico dessa função é uma curva decrescente exponencial que começa em 2g e diminui pela metade a cada hora.

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