A meia-vida da decomposição de primeira ordem de A é 355s. Qual é o tempo necessário para que a concentração de A caia até
15% do valor inicial;

Passo 1

Vamos organizar o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dado: a meia-vida da reação de primeira ordem é t_{1/2}=355\\ \text{s}.
  • Pedido: encontrar o tempo t necessário para que a concentração de A caia até 15\% do valor inicial, ou seja até [A](t)=0{,}15\,[A]_0.

Passo 2

Conceito e fórmula básica (explicação didática).
Para uma reação de primeira ordem, a concentração decai exponencialmente segundo a lei
[A](t) = [A]_0 e^{-k t},
onde:
  • [A](t) é a concentração de A no tempo t,
  • [A]_0 é a concentração inicial (em t=0),
  • k é a constante de velocidade (unidade \text{s}^{-1}),
  • e é a base dos logaritmos naturais.
Explicando devagar: a equação diz que a fração restante de A após tempo t é e^{-k t}. Se k for grande, decai rápido; se k for pequeno, decai devagar.

Passo 3

Relação entre meia-vida e constante de velocidade k.
Por definição, na meia-vida t_{1/2} vale [A](t_{1/2})=\tfrac{1}{2}[A]_0. Substituindo na lei exponencial:
\tfrac{1}{2}[A]_0 = [A]_0 e^{-k t_{1/2}}.
Cancelando [A]_0 e aplicando log natural:
\tfrac{1}{2} = e^{-k t_{1/2}} \qquad\Rightarrow\qquad \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -k t_{1/2}.
Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2, segue
k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Aqui \ln 2 é aproximadamente 0{,}693147.

Passo 4

Montar a equação para o caso pedido e isolar t.
Queremos [A](t)=[A]_0\cdot 0{,}15. Usando a lei exponencial:
0{,}15\,[A]_0 = [A]_0 e^{-k t}.
Cancelando [A]_0:
0{,}15 = e^{-k t}.
Tirando log natural dos dois lados:
\ln(0{,}15) = -k t \qquad\Rightarrow\qquad t = -\frac{\ln(0{,}15)}{k}.

Passo 5

Substituir k por \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} e simplificar a expressão.
Substituindo:
t = -\ln(0{,}15)\cdot\frac{1}{k} = -\ln(0{,}15)\cdot\frac{t_{1/2}}{\ln 2}.
Essa fórmula é prática: ela dá o tempo necessário para qualquer fração conhecida em função da meia-vida.

Passo 6

Cálculo numérico passo a passo (sem pular etapas).
  • Calcular \ln(0{,}15):
\ln(0{,}15)\approx -1{,}897119985.
  • Já temos t_{1/2}=355\\ \text{s} e \ln 2\approx 0{,}693147181.
  • Então
t = -(-1{,}897119985)\cdot\frac{355}{0{,}693147181} = 1{,}897119985\cdot\frac{355}{0{,}693147181}.
  • Primeiro calcule 1{,}897119985\times 355 \approx 673{,}477645.
  • Agora divida por 0{,}693147181:
t \approx \frac{673{,}477645}{0{,}693147181} \approx 971{,}6\\ \text{s}.
  • Em minutos isso é
t \approx \frac{971{,}6}{60} \approx 16{,}19\\ \text{min}.

Resposta

t \approx 971{,}6\\ \text{s} \approx 16{,}19\\ \text{min}

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