A meia-vida da decomposição de primeira ordem de A é 355s. Qual é o tempo necessário para que a concentração de A caia até
um nono da concentração inicial?
um nono da concentração inicial?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que segue está extraído do enunciado):
- Meia-vida da decomposição de primeira ordem de
: . - Quer-se o tempo necessário para que a concentração de
caia até da concentração inicial, isto é, encontrar tal que .
Passo 2
Modelo matemático (lei da cinética de primeira ordem). Para uma reação de primeira ordem a concentração do reagente decai exponencialmente segundo a lei
onde:
-
é a concentração de no tempo , -
é a concentração inicial de , -
é a constante de velocidade de primeira ordem (unidade ), -
é o tempo (unidade ).
Explicação curta: a forma
diz que a fração que resta de
decresce exponencialmente; a constante
controla a rapidez da queda.
Passo 3
Relação entre meia-vida e constante de velocidade. A meia-vida
é o tempo necessário para que
caia a metade de
. Substituindo
na lei exponencial:
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Logo, isolando
,
Aqui:
é o logaritmo natural de
e
é a meia-vida dada.
Passo 4
Cálculo de
usando
. Substituindo na fórmula:
Uma aproximação numérica útil é
, então
Comentário: não é obrigatório calcular
para chegar na resposta — mostro isso a seguir — mas é útil para entender as grandezas.
Passo 5
Equação para o tempo pedida. Queremos
tal que
. Usando a lei exponencial:
Tomando ln em ambos os lados:
Isolando
:
Passo 6
Expressão direta em função da meia-vida (evita cálculo intermédio de
). Como
, substituindo em
obtém-se
Isto é intuitivo: a razão
diz quantas meias-vidas equivalem à redução para
.
Passo 7
Cálculo numérico. Primeiro valores dos logaritmos (aproximações):
Logo
Multiplicando por
:
Mostrando a multiplicação por partes:
Passo 8
Interpretação final e dica de prova. O tempo calculado significa que, com meia-vida de
, após cerca de
restará
da concentração inicial. Uma forma rápida para provas: lembrar que para primeira ordem vale
; então resolver
leva a
, mesmo resultado.