A meia-vida da decomposição de primeira ordem de A é 355s. Qual é o tempo necessário para que a concentração de A caia até
um nono da concentração inicial?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo que segue está extraído do enunciado):
  • Meia-vida da decomposição de primeira ordem de A: t_{1/2}=355\\ \text{s}.
  • Quer-se o tempo necessário para que a concentração de A caia até \dfrac{1}{9} da concentração inicial, isto é, encontrar t tal que \dfrac{[A](t)}{[A]_0}=\dfrac{1}{9}.

Passo 2

Modelo matemático (lei da cinética de primeira ordem). Para uma reação de primeira ordem a concentração do reagente decai exponencialmente segundo a lei
[A](t) = [A]_0\,e^{-k t},
onde:
  • [A](t) é a concentração de A no tempo t,
  • [A]_0 é a concentração inicial de A,
  • k é a constante de velocidade de primeira ordem (unidade \text{s}^{-1}),
  • t é o tempo (unidade \text{s}).
Explicação curta: a forma e^{-k t} diz que a fração que resta de A decresce exponencialmente; a constante k controla a rapidez da queda.

Passo 3

Relação entre meia-vida e constante de velocidade. A meia-vida t_{1/2} é o tempo necessário para que [A] caia a metade de [A]_0. Substituindo t=t_{1/2} na lei exponencial:
\frac{[A](t_{1/2})}{[A]_0} = e^{-k t_{1/2}} = \frac{1}{2}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
-k t_{1/2} = \ln\!\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2.
Logo, isolando k,
k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Aqui: \ln 2 é o logaritmo natural de 2 e t_{1/2} é a meia-vida dada.

Passo 4

Cálculo de k usando t_{1/2}=355\\ \text{s}. Substituindo na fórmula:
k = \frac{\ln 2}{355\\ \text{s}}.
Uma aproximação numérica útil é \ln 2 \approx 0,693147, então
k \approx \frac{0,693147}{355\\ \text{s}} \approx 0,001952\\ \text{s}^{-1}.
Comentário: não é obrigatório calcular k para chegar na resposta — mostro isso a seguir — mas é útil para entender as grandezas.

Passo 5

Equação para o tempo pedida. Queremos t tal que \dfrac{[A](t)}{[A]_0}=\dfrac{1}{9}. Usando a lei exponencial:
e^{-k t} = \frac{1}{9}.
Tomando ln em ambos os lados:
-k t = \ln\!\left(\frac{1}{9}\right) = -\ln 9.
Isolando t:
t = \frac{\ln 9}{k}.

Passo 6

Expressão direta em função da meia-vida (evita cálculo intermédio de k). Como k=\dfrac{\ln 2}{t_{1/2}}, substituindo em t=\dfrac{\ln 9}{k} obtém-se
t = t_{1/2}\,\frac{\ln 9}{\ln 2}.
Isto é intuitivo: a razão \dfrac{\ln 9}{\ln 2} diz quantas meias-vidas equivalem à redução para \dfrac{1}{9}.

Passo 7

Cálculo numérico. Primeiro valores dos logaritmos (aproximações):
\ln 9 \approx 2,1972246,\qquad \ln 2 \approx 0,6931472.
Logo
\frac{\ln 9}{\ln 2} \approx 3,169925.
Multiplicando por t_{1/2}=355\\ \text{s}:
t \approx 355\cdot 3,169925 \approx 1125,32\\ \text{s}.
Mostrando a multiplicação por partes:
355\cdot 3,169925 = 300\cdot 3,169925 + 50\cdot 3,169925 + 5\cdot 3,169925 \\\ = 950,9775 + 158,49625 + 15,849625 = 1125,323375 \approx 1125,32\\ \text{s}.

Passo 8

Interpretação final e dica de prova. O tempo calculado significa que, com meia-vida de 355\\ \text{s}, após cerca de 1125\\ \text{s} restará \dfrac{1}{9} da concentração inicial. Uma forma rápida para provas: lembrar que para primeira ordem vale [A](t)/[A]_0=(1/2)^{t/t_{1/2}}; então resolver (1/2)^{t/t_{1/2}}=1/9 leva a t/t_{1/2}=\log_{1/2}(1/9)=\dfrac{\ln 9}{\ln 2}, mesmo resultado.

Resposta

t \approx 1125,32\\ \text{s}

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