A melhor função afim que aproxima
f(x)=82 x^wed>= 3+30 x
em torno de x=1
é da forma
alpha(x)=m x+c
para certas constantes reais mec . A soma m+c é igual a

Passo 1

Vamos resolver esse exercício que envolve encontrar a melhor função afim que aproxima a função f(x) = 82x^3 + 30x em torno de x = 1 . Aqui, estamos lidando com o conteúdo de aproximação linear ou função afim, e vamos precisar usar o conceito de derivadas para encontrar essa aproximação.

Passo 2

Primeiro, a melhor função afim que aproxima f(x) em um ponto específico é a reta tangente à curva nesse ponto. A reta tangente tem a forma alpha(x) = m x + c , onde m é a inclinação (derivada de f no ponto) e c é o intercepto.

Passo 3

Vamos calcular f(1) , que é o valor da função no ponto onde vamos aproximar:
f(1) = 82(1)^3 + 30(1) = 82 + 30 = 112

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de f(x) para determinar a inclinação m da reta tangente:
f'(x) = ddx(82x^3 + 30x) = 246x^2 + 30

Passo 5

Calculamos f'(1) , que é a inclinação da reta tangente no ponto x = 1 :
f'(1) = 246(1)^2 + 30 = 246 + 30 = 276

Passo 6

Com m = 276 e sabendo que a reta tangente passa pelo ponto (1, 112) , podemos encontrar c substituindo na equação da reta:
112 = 276(1) + c
c = 112 - 276
c = -164

Resposta

A soma m + c é igual a 276 + (-164) = 112 .

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