Em uma mesa de inox desliza um bloco de gelo de massa M, em seguida este bloco é partido na proporção de 2 para 1begin mathsize 14px style left parenthesis m subscript 1 space equals space 2 m subscript 2 right parenthesis end style. O bloco 1 se move no sentido positivo do eixo-y com uma velocidade de begin mathsize 14px style 4 comma 0 space m divided by s end style, enquanto o bloco 2 move no um ângulo de begin mathsize 14px style 41 º end style com o sentido positivo do eixo-x com uma velocidade de begin mathsize 14px style 3 comma 0 space m divided by s end style. Sabendo que o módulo do momento linear é begin mathsize 14px style 30 comma 63 space K g space m divided by s end style, qual a massa M do bloco de gelo?
begin mathsize 14px style M space equals space 9 comma space 5 comma space 0 space k g end style
begin mathsize 14px style M space equals space 7 comma space 0 space k g end style
begin mathsize 14px style M space equals space 9 comma space 0 space k g end style
begin mathsize 14px style M space equals space 6 comma space 0 space k g end style
begin mathsize 14px style M space equals space 8 comma space 5 space k g end style

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! A questão trata de momento linear (ou quantidade de movimento) e envolve conservação de momento. Vamos precisar usar as fórmulas de momento linear e decompor vetores nas direções dos eixos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo: temos um bloco de gelo com massa M que se divide em dois blocos menores. A massa do bloco 1 é o dobro da massa do bloco 2, ou seja, $ m_1 = 2m_2 $.

Passo 3

Depois da divisão, o bloco 1 está se movendo na direção positiva do eixo y com uma velocidade de $ 4,0 , m/s $, e o bloco 2 está se movendo em um ângulo de $ 41^\circ $ com o eixo x na direção positiva, com velocidade de $ 3,0 , m/s $.

Passo 4

Sabemos que o momento linear total do sistema antes da divisão é igual ao momento linear total após a divisão, devido à conservação do momento linear. Ou seja:
pinicial = pfinal

Passo 5

Inicialmente, o bloco de gelo está em repouso ou se movendo? Aparentemente, ele está deslizando na mesa, então vamos supor que ele tinha um momento inicial que, após a divisão, é igual à soma dos momentos dos dois blocos.

Passo 6

Vamos calcular o momento de cada bloco após a divisão.
Para o bloco 1:
p1 = m1 cdot v1 = 2m2 cdot 4,0 , m/s = 8m2 , kg·m/s
Como está na direção y, $ p_{1y} = 8m_2 $ e $ p_{1x} = 0 $.
Para o bloco 2:
p1y = 8m2
Precisamos decompor nas direções x e y:
p1x = 0
p2 = m2 cdot v2

Passo 7

O momento total final é a soma dos momentos dos dois blocos:
pfinal = p1 + p2
Nas direções x e y:
pfinal,x = p2x = m2 cdot 3,0 cos(41^circ)
pfinal,y = p1y + p2y = 8m2 + m2 cdot 3,0 sin(41^circ)

Passo 8

O módulo do momento total é dado por:
|pfinal| = raiz(pfinal,x)^2 + (pfinal,y)^2 = 30,63 , kg·m/s
Substituindo as expressões:
raiz(3m2 cos 41^circ)^2 + (8m2 + 3m2 sin 41^circ)^2 = 30,63

Passo 9

Vamos resolver a equação para encontrar $ m_2 $:
Primeiro, calculemos $ \cos 41^\circ $ e $ \sin 41^\circ $:
m2
cos 41^circ
Substituindo:
sin 41^circ
cos 41^circ approx 0,7547
sin 41^circ approx 0,6561
raiz(3m2 cdot 0,7547)^2 + (8m2 + 3m2 cdot 0,6561)^2 = 30,63
raiz(2,2641m2)^2 + (8m2 + 1,9683m2)^2 = 30,63
raiz5,1363m2^2 + (9,9683m2)^2 = 30,63

Passo 10

Agora, isolamos $ m_2 $:
m2
m2 = 30,6310,223

Passo 11

Sabemos que $ m_1 = 2m_2 $:
m1 = 2m2
A massa total do bloco de gelo antes da divisão é:
m1 = 2 times 3,0 , kg = 6,0 , kg

Resposta

A massa $ M $ do bloco de gelo é 9,0 kg.

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