Um metal hipotético tem uma célula unitária ortorrômbica para a qual os parâmetros da rede cristalina a, b e c são 0,458, 0,606 e 0,973 nm, respectivamente.
(a) Se houver 8 átomos por célula unitária e o fator de empacotamento atômico for 0,571, então determine o raio
(b) Se a massa específica for
, então calcule o peso atômico do metal.
(a) Se houver 8 átomos por célula unitária e o fator de empacotamento atômico for 0,571, então determine o raio
(b) Se a massa específica for
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um metal com uma célula unitária ortorrômbica, cujos parâmetros da rede cristalina são $ a = 0{,}458 $ nm, $ b = 0{,}606 $ nm e $ c = 0{,}973 $ nm. Sabemos que há 8 átomos por célula unitária e o fator de empacotamento atômico (APF) é 0,571. Precisamos resolver duas partes:
(a) Determinar o raio dos átomos.
(b) Calcular o peso atômico do metal, dado que a massa específica é $ 5{,}87 , g/cm^3 $.
Para resolver essas questões, vamos usar conceitos de geometria cristalina, empacotamento atômico e propriedades físicas dos materiais.
Passo 2
Parte (a): Determinar o raio dos átomos
Primeiro, vamos entender o que é o fator de empacotamento atômico (APF). O APF é a fração do volume da célula unitária que é ocupada pelos átomos. É dado pela fórmula:
Onde:
- $ N $ é o número de átomos por célula unitária (neste caso, 8).
- $ V_{átomo} $ é o volume de um átomo.
- $ V_{célula} $ é o volume total da célula unitária.
Queremos encontrar o raio dos átomos, então precisamos relacionar o volume do átomo com seu raio.
Passo 3
Vamos calcular o volume da célula unitária ($ V_{célula} $). Para uma célula ortorrômbica, o volume é dado por:
Substituindo os valores fornecidos:
Passo 4
Agora, vamos expressar o volume do átomo ($ V_{átomo}
r $). Considerando que o átomo é aproximadamente esférico:
Substituindo na fórmula do APF:
Passo 5
Vamos isolar $ r^3 $:
Calculando os valores numéricos:
Passo 6
Finalmente, tiramos a raiz cúbica para encontrar o raio:
Passo 7
Parte (b): Calcular o peso atômico do metal
Para encontrar o peso atômico ($ M
\rho
Z
N_A
V_{célula} $):
Rearranjando para encontrar $ M $:
Passo 8
Substituindo os valores conhecidos:
- $ \rho = 5{,}87 , g/cm^3 $
- $ N_A = 6{,}022 \times 10^{23} , mol^{-1} $
- $ V_{célula} = 0{,}270 , nm^3 = 0{,}270 \times 10^{-21} , cm^3 $ (convertendo de nm³ para cm³)
- $ Z = 8 $
Passo 9
Calculando os valores:
Resposta
(a) O raio dos átomos é aproximadamente $ r = 0{,}168 , nm $.
(b) O peso atômico do metal é aproximadamente $ M = 119{,}32 , g/mol $.