Um metal hipotético tem uma célula unitária ortorrômbica para a qual os parâmetros da rede cristalina a, b e c são 0,458, 0,606 e 0,973 nm, respectivamente. (1,0)
(a) Se houver 8 átomos por célula unitária e o fator de empacotamento atômico for 0,571, então determine o raio
(b) Se a massa específica for 5,87 g / cm , então calcule o peso atômico do metal.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um metal com uma célula unitária ortorrômbica, cujos parâmetros da rede cristalina são $ a = 0{,}458 $ nm, $ b = 0{,}606 $ nm e $ c = 0{,}973 $ nm. Sabemos que há 8 átomos por célula unitária e o fator de empacotamento atômico (APF) é 0,571. Precisamos resolver duas partes:
(a) Determinar o raio dos átomos.
(b) Calcular o peso atômico do metal, dado que a massa específica é $ 5{,}87 , g/cm^3 $.
Para resolver essas questões, vamos usar conceitos de geometria cristalina, empacotamento atômico e propriedades físicas dos materiais.

Passo 2

Parte (a): Determinar o raio dos átomos
Primeiro, vamos entender o que é o fator de empacotamento atômico (APF). O APF é a fração do volume da célula unitária que é ocupada pelos átomos. É dado pela fórmula:
APF = N times VátomoVcélula áé
Onde:
  • $ N $ é o número de átomos por célula unitária (neste caso, 8).
  • $ V_{átomo} $ é o volume de um átomo.
  • $ V_{célula} $ é o volume total da célula unitária.
Queremos encontrar o raio dos átomos, então precisamos relacionar o volume do átomo com seu raio.

Passo 3

Vamos calcular o volume da célula unitária ($ V_{célula} $). Para uma célula ortorrômbica, o volume é dado por:
Vcélula é
Substituindo os valores fornecidos:
Vcélula = a times b times c é

Passo 4

Agora, vamos expressar o volume do átomo ($ V_{átomo} Vátomo r $). Considerando que o átomo é aproximadamente esférico:
r á
Substituindo na fórmula do APF:
Vátomo = 43 pi r^3

Passo 5

Vamos isolar $ r^3 $:
r^3
Calculando os valores numéricos:
r^3 = 0,571 times 0,2708 times 43 pi

Passo 6

Finalmente, tiramos a raiz cúbica para encontrar o raio:
r = raiz[3]0,0046 approx 0,168 , nm

Passo 7

Parte (b): Calcular o peso atômico do metal
Para encontrar o peso atômico ($ M M ó \rho rho úáéá Z Z N_A NA éá V_{célula} $):
Vcélula é
Rearranjando para encontrar $ M $:
rho = Z times MNA times Vcélula é

Passo 8

Substituindo os valores conhecidos:
  • $ \rho = 5{,}87 , g/cm^3 $
  • $ N_A = 6{,}022 \times 10^{23} , mol^{-1} $
  • $ V_{célula} = 0{,}270 , nm^3 = 0{,}270 \times 10^{-21} , cm^3 $ (convertendo de nm³ para cm³)
  • $ Z = 8 $
rho = 5,87 , g/cm^3

Passo 9

Calculando os valores:
M = 5,87 times 6,022 times 0,270 times 10^28 approx 5,87 times 6,022 times 278 approx 954,5758 approx 119,32 , g/mol

Resposta

(a) O raio dos átomos é aproximadamente $ r = 0{,}168 , nm $.
(b) O peso atômico do metal é aproximadamente $ M = 119{,}32 , g/mol $.

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