Para algumas aplicações, é necessário endurecer a superfície de uma aço a níveis superiores aos do seu interior.Uma maneira de conseguir isso é aumentando a concentração de carbono na superfície, através do processo chamado carbonetação. A peça de aço é exposta, em uma temperatura elevada, a uma atmosfera rica em um hidrocarboneto gasoso, tal como o metano ( CH 4 ).Considere uma dessas ligas
contendo uma concentração inicial uniforme de carbono de 0,20%p, que deve ser tratada a 850^circ C. Se a concentração de carbono na superfície for repentinamente elevada e mantida em 1,20 % p, quanto tempo será necessário para atingir um teor de carbono de 0,75%p em uma posição a 0,7 mm (x) abaixo da superfície? O coeficiente de difusão (D) para o carbono no ferro nessa temperatura é de 1,8 x 10-12 ms; assuma que a peça de aço seja semi-infinita. (1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. O exercício fala sobre carbonetação, que é um processo de aumentar a concentração de carbono na superfície do aço para endurecê-lo. A gente tem uma peça de aço com uma concentração inicial de carbono de 0,20% p, que será tratada a 850°C. A superfície recebe uma concentração de 1,20% p de carbono, e queremos saber quanto tempo demora para que, a 0,7 mm debaixo da superfície, o teor de carbono seja de 0,75% p. O coeficiente de difusão do carbono no ferro nessa temperatura é de 1,8 times 10^-12 , m^2/s. Vamos resolver isso usando a teoria da difusão em sólidos, assumindo que a peça de aço é semi-infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma peça semi-infinita. Isso quer dizer que a peça é muito grande comparada à profundidade que estamos analisando, então as fronteiras além disso não afetam o processo de difusão aqui.

Passo 3

A difusão de carbono na peça pode ser descrita pela equação de difusão para um sólido semi-infinito com uma concentração constante na superfície. A concentração de carbono a uma profundidade $ x $ e no tempo $ t $ é dada por:
x
Onde:
  • $ C(x,t) $ é a concentração de carbono na profundidade $ x $ no tempo $ t $.
  • $ C_s $ é a concentração de carbono na superfície.
  • $ C_0 $ é a concentração inicial de carbono no interior.
  • $ D $ é o coeficiente de difusão.
  • $ erf $ é a função erro.

Passo 4

Vamos identificar os valores que já temos:
  • $ C_0 = 0,20% , p $ (concentração inicial)
  • $ C_s = 1,20% , p $ (concentração na superfície)
  • $ C(x,t) = 0,75% , p $ (concentração na profundidade $ x = 0,7 , mm = 0,0007 , m $)
  • $ D = 1,8 \times 10^{-12} , m^2/s $

Passo 5

Primeiro, vamos reorganizar a equação para resolver para $ t $:
t
Isolando a função erro:
C(x,t) = Cs + (C0 - Cs) , erf ( x2 raizD t )
Agora, aplicamos a função inversa da função erro ($ erf^{-1} $) em ambos os lados:
C(x,t) - CsC0 - Cs = erf ( x2 raizD t )

Passo 6

Vamos resolver para $ t $:
t
Elevando ambos os lados ao quadrado:
x2 raizD t = erf^-1 ( C(x,t) - CsC0 - Cs )
Resolvendo para $ t $:
( x2 raizD t )^2 = ( erf^-1 ( C(x,t) - CsC0 - Cs ) )^2

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação. Primeiro, calculamos o termo dentro da função inversa da função erro:
C(x,t) - CsC0 - Cs = 0,75 - 1,200,20 - 1,20 = -0,45-1,00 = 0,45
Então:
erf^-1(0,45) approx 0,4769

Passo 8

Substituindo todos os valores na equação para $ t $:
t
Calculando o numerador:
t = ( 0,00072 times 0,4769 )^2 cdot 11,8 times 10^-12
Elevando ao quadrado:
0,00072 times 0,4769 approx 0,00070,9538 approx 0,0007335 , m
Dividindo pelo coeficiente de difusão:
(0,0007335)^2 approx 5,367 times 10^-7 , m^2

Passo 9

Agora, vamos converter os segundos para horas e dias para ter uma ideia melhor do tempo:
2,98 times 10^5 , s div 3600 approx 82,8 , horas
82,8 , horas div 24 approx 3,45 , dias

Resposta

Será necessário aproximadamente 3,45 dias para atingir um teor de carbono de 0,75% p a uma profundidade de 0,7 mm abaixo da superfície da peça de aço.

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