Para algumas aplicações, é necessário endurecer a superfície de uma aço a níveis superiores aos do seu interior.Uma maneira de conseguir isso é aumentando a concentração de carbono na superfície, através do processo chamado carbonetação. A peça de aço é exposta, em uma temperatura elevada, a uma atmosfera rica em um hidrocarboneto gasoso, tal como o metano ( CH 4 ).Considere uma dessas ligas
contendo uma concentração inicial uniforme de carbono de 0,20%p, que deve ser tratada a
. Se a concentração de carbono na superfície for repentinamente elevada e mantida em
p, quanto tempo será necessário para atingir um teor de carbono de 0,75%p em uma posição a 0,7 mm (x) abaixo da superfície? O coeficiente de difusão (D) para o carbono no ferro nessa temperatura é de 1,8 x 10-12 ms; assuma que a peça de aço seja semi-infinita.
contendo uma concentração inicial uniforme de carbono de 0,20%p, que deve ser tratada a
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. O exercício fala sobre carbonetação, que é um processo de aumentar a concentração de carbono na superfície do aço para endurecê-lo. A gente tem uma peça de aço com uma concentração inicial de carbono de 0,20% p, que será tratada a 850°C. A superfície recebe uma concentração de 1,20% p de carbono, e queremos saber quanto tempo demora para que, a 0,7 mm debaixo da superfície, o teor de carbono seja de 0,75% p. O coeficiente de difusão do carbono no ferro nessa temperatura é de
. Vamos resolver isso usando a teoria da difusão em sólidos, assumindo que a peça de aço é semi-infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma peça semi-infinita. Isso quer dizer que a peça é muito grande comparada à profundidade que estamos analisando, então as fronteiras além disso não afetam o processo de difusão aqui.
Passo 3
A difusão de carbono na peça pode ser descrita pela equação de difusão para um sólido semi-infinito com uma concentração constante na superfície. A concentração de carbono a uma profundidade $ x $ e no tempo $ t $ é dada por:
Onde:
- $ C(x,t) $ é a concentração de carbono na profundidade $ x $ no tempo $ t $.
- $ C_s $ é a concentração de carbono na superfície.
- $ C_0 $ é a concentração inicial de carbono no interior.
- $ D $ é o coeficiente de difusão.
- $ erf $ é a função erro.
Passo 4
Vamos identificar os valores que já temos:
- $ C_0 = 0,20% , p $ (concentração inicial)
- $ C_s = 1,20% , p $ (concentração na superfície)
- $ C(x,t) = 0,75% , p $ (concentração na profundidade $ x = 0,7 , mm = 0,0007 , m $)
- $ D = 1,8 \times 10^{-12} , m^2/s $
Passo 5
Primeiro, vamos reorganizar a equação para resolver para $ t $:
Isolando a função erro:
Agora, aplicamos a função inversa da função erro ($ erf^{-1} $) em ambos os lados:
Passo 6
Vamos resolver para $ t $:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Resolvendo para $ t $:
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação. Primeiro, calculamos o termo dentro da função inversa da função erro:
Então:
Passo 8
Substituindo todos os valores na equação para $ t $:
Calculando o numerador:
Elevando ao quadrado:
Dividindo pelo coeficiente de difusão:
Passo 9
Agora, vamos converter os segundos para horas e dias para ter uma ideia melhor do tempo:
Resposta
Será necessário aproximadamente 3,45 dias para atingir um teor de carbono de 0,75% p a uma profundidade de 0,7 mm abaixo da superfície da peça de aço.