O metal índio possui uma célula unitária tetragonal cujos parâmetros do reticulado a e c são, respectivamente, 0,459 e 0,495 nm. Se o fator de empacotamento e o raio atômico são 0,693 e 0,1624 nm, respectivamente, determine o número de átomos em cada célula unitária.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver um exercício sobre estrutura cristalina, mais especificamente sobre a célula unitária tetragonal do metal índio. A gente vai precisar entender o que é fator de empacotamento, como calcular o volume da célula unitária e o volume de um átomo. Com esses conceitos, vamos descobrir quantos átomos existem em cada célula unitária desse metal.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar a fórmula do fator de empacotamento (PF). O fator de empacotamento nos mostra a fração do volume da célula unitária que está ocupada pelos átomos. A fórmula é:
Aqui, $ n $ é o número de átomos por célula unitária, $ V_{átomo} $ é o volume de um átomo, e $ V_{célula} $ é o volume total da célula unitária.
Passo 3
Vamos calcular o volume da célula unitária tetragonal. A célula tetragonal tem dois parâmetros: $ a $ e $ c $. A fórmula para o volume é:
Dado que $ a = 0,459 $ nm e $ c = 0,495 $ nm, substituímos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o volume de um átomo. Considerando que o átomo é esférico, usamos a fórmula do volume de uma esfera:
Com o raio $ r = 0,1624 $ nm, substituímos:
Passo 5
Vamos reorganizar a fórmula do fator de empacotamento para encontrar o número de átomos por célula unitária ($ n $):
Aqui, $ PF = 0,693 $, que já nos foi dado.
Passo 6
Agora, vamos calcular passo a passo. Primeiro, calculamos $ V_{célula} $:
Em seguida, calculamos $ V_{átomo} $:
Agora, substituímos na fórmula de $ n $:
Resposta
O número de átomos por célula unitária do metal índio é aproximadamente 4.