Quais os índices das seis direções da família de direções <110> existentes no plano (111) de uma célula cúbica?
Passo 1
E aí! Vamos resolver esse exercício sobre cristalografia. A pergunta é: Quais os índices das seis direções da família de direções <110> existentes no plano (111) de uma célula cúbica?
Vamos precisar entender alguns conceitos:
- Família de direções <110>: São direções equivalentes em uma estrutura cúbica.
- Plano (111): Um plano específico dentro da célula cúbica.
- Vamos usar a matemática de vetores e índices cristalográficos para encontrar essas direções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são direções <110> em uma célula cúbica. As direções são representadas por índices como [hkl], onde h, k e l são inteiros que indicam a direção no espaço tridimensional da célula.
Para uma célula cúbica, a família <110> inclui todas as direções que são permutações dos números 1, 1 e 0, ou seja:
Essas são as seis direções <110>.
Passo 3
Agora, precisamos identificar quais dessas direções estão no plano (111). O plano (111) também é representado por índices, e para verificar se uma direção [hkl] está no plano (111), usamos o produto escalar entre o vetor da direção e o vetor normal ao plano.
O vetor normal ao plano (111) é $ \mathbf{n} = [1, 1, 1] $.
O produto escalar entre a direção
e o vetor normal é:
Para que a direção esteja no plano, esse produto deve ser zero:
Passo 4
Vamos aplicar essa condição às seis direções <110> que listamos:
- [110]:
→ Não está no plano. - [101]:
→ Não está no plano. - [011]:
→ Não está no plano. - [1\overline{1}0]:
→ Está no plano. - [10\overline{1}]:
→ Está no plano. - [0\overline{1}1]:
→ Está no plano.
Passo 5
Portanto, as direções <110> que estão no plano (111) são aquelas que satisfazem
. Das seis direções <110>, três atendem a essa condição.
Passo 6
Contudo, devido à simetria da célula cúbica, cada direção tem sua equivalente negativa, o que nos dá um total de seis direções distintas no plano (111).
Resposta
As seis direções da família <110> que existem no plano (111) de uma célula cúbica são: