Quais os índices das seis direções da família de direções <110> existentes no plano (111) de uma célula cúbica?

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício sobre cristalografia. A pergunta é: Quais os índices das seis direções da família de direções <110> existentes no plano (111) de uma célula cúbica?
Vamos precisar entender alguns conceitos:
  • Família de direções <110>: São direções equivalentes em uma estrutura cúbica.
  • Plano (111): Um plano específico dentro da célula cúbica.
  • Vamos usar a matemática de vetores e índices cristalográficos para encontrar essas direções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são direções <110> em uma célula cúbica. As direções são representadas por índices como [hkl], onde h, k e l são inteiros que indicam a direção no espaço tridimensional da célula.
Para uma célula cúbica, a família <110> inclui todas as direções que são permutações dos números 1, 1 e 0, ou seja:
[110], [101], [011], [110], [101], [011]
Essas são as seis direções <110>.

Passo 3

Agora, precisamos identificar quais dessas direções estão no plano (111). O plano (111) também é representado por índices, e para verificar se uma direção [hkl] está no plano (111), usamos o produto escalar entre o vetor da direção e o vetor normal ao plano.
O vetor normal ao plano (111) é $ \mathbf{n} = [1, 1, 1] $.
O produto escalar entre a direção n = [1, 1, 1] e o vetor normal é:
[h, k, l]
Para que a direção esteja no plano, esse produto deve ser zero:
h cdot 1 + k cdot 1 + l cdot 1 = h + k + l

Passo 4

Vamos aplicar essa condição às seis direções <110> que listamos:
  1. [110]: 1 + 1 + 0 = 2 neq 0 → Não está no plano.
  2. [101]: 1 + 0 + 1 = 2 neq 0 → Não está no plano.
  3. [011]: 0 + 1 + 1 = 2 neq 0 → Não está no plano.
  4. [1\overline{1}0]: 1 + (-1) + 0 = 0 → Está no plano.
  5. [10\overline{1}]: 1 + 0 + (-1) = 0 → Está no plano.
  6. [0\overline{1}1]: 0 + (-1) + 1 = 0 → Está no plano.

Passo 5

Portanto, as direções <110> que estão no plano (111) são aquelas que satisfazem h + k + l = 0. Das seis direções <110>, três atendem a essa condição.

Passo 6

Contudo, devido à simetria da célula cúbica, cada direção tem sua equivalente negativa, o que nos dá um total de seis direções distintas no plano (111).

Resposta

As seis direções da família <110> que existem no plano (111) de uma célula cúbica são:
[110], [110], [101], [101], [011], [011]

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