A metal sphere of radius
, carrying charge
, is surrounded by a thick concentric metal shell (inner radius
, outer radius
, as in Fig. 2.48). The shell carries no net charge.
Find the surface charge density
at
, at
, and at
.
Find the surface charge density
Passo 1
Beleza, a gente tem uma esfera metálica de raio
com carga total
. Essa esfera fica dentro de um casulo metálico (concha) que tem raio interno
e externo
, mas esse casulo não tem carga líquida (isto é, carga total zero). O assunto é eletrostática de condutores: a gente vai usar a lei de Gauss e o fato de que, em equilíbrio, o campo elétrico dentro do material metálico é zero, o que faz as cargas se distribuírem só nas superfícies. O que precisamos achar são as densidades de carga
em cada superfície: na esfera de raio
, na face interna do casulo (raio
) e na face externa do casulo (raio
).
Passo 2
Primeiro, lembra que em um condutor em equilíbrio eletrostático o campo interno é zero. Se você fechar uma “bolinha imaginária” (superfície gaussiana) dentro do metal do casulo, o campo ali é zero, então a carga total envolvida pela superfície deve ser zero.
- Se a gente escolher uma superfície logo dentro do metal do casulo, ela envolve a esfera de carga
e a superfície interna do casulo. Como o campo no metal é zero, a carga líquida dentro da gaussiana tem que ser zero:
Ou seja, na superfície interna (raio
) do casulo aparece uma carga
.
Passo 3
Agora, como o casulo inteiro tem carga líquida zero, se ele tem
na face interna, tem que ter
na face externa (raio
) para compensar:
Passo 4
Por fim, a esfera metálica isolada de raio
carrega toda a carga
na sua superfície (é onde as cargas vivem). Então os valores de carga em cada superfície são:
- esfera:
- casulo interno (raio
): - casulo externo (raio
):
Passo 5
Densidade de carga é carga sobre área da superfície esférica, ou seja