A metal sphere of radius R, carrying charge q, is surrounded by a thick concentric metal shell (inner radius a, outer radius b, as in Fig. 2.48). The shell carries no net charge.
Find the surface charge density sigma at R, at a, and at b.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma esfera metálica de raio com carga total . Essa esfera fica dentro de um casulo metálico (concha) que tem raio interno e externo , mas esse casulo não tem carga líquida (isto é, carga total zero). O assunto é eletrostática de condutores: a gente vai usar a lei de Gauss e o fato de que, em equilíbrio, o campo elétrico dentro do material metálico é zero, o que faz as cargas se distribuírem só nas superfícies. O que precisamos achar são as densidades de carga em cada superfície: na esfera de raio , na face interna do casulo (raio ) e na face externa do casulo (raio ).

Passo 2

Primeiro, lembra que em um condutor em equilíbrio eletrostático o campo interno é zero. Se você fechar uma “bolinha imaginária” (superfície gaussiana) dentro do metal do casulo, o campo ali é zero, então a carga total envolvida pela superfície deve ser zero.
  • Se a gente escolher uma superfície logo dentro do metal do casulo, ela envolve a esfera de carga q + Qinterna = 0 Longrightarrow Qinterna = -q e a superfície interna do casulo. Como o campo no metal é zero, a carga líquida dentro da gaussiana tem que ser zero:
Ou seja, na superfície interna (raio ) do casulo aparece uma carga .

Passo 3

Agora, como o casulo inteiro tem carga líquida zero, se ele tem Qexterna = +q na face interna, tem que ter na face externa (raio ) para compensar:

Passo 4

Por fim, a esfera metálica isolada de raio carrega toda a carga na sua superfície (é onde as cargas vivem). Então os valores de carga em cada superfície são:
  • esfera:
  • casulo interno (raio ):
  • casulo externo (raio ):

Passo 5

Densidade de carga é carga sobre área da superfície esférica, ou seja
sigma = Q4pi r^2

Resposta

sigma(R) ;=; q4pi R^2, sigma(a) ;=; -q4pi a^2, sigma(b) ;=; +q4pi b^2

Exercícios relacionados