Represente graficamente os seguintes sinais:
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, a questão pede pra desenhar alguns sinais usando duas “funções-padrão” de processamento de sinais: a função triangular tri(·) e a função retangular rect(·). Vamos precisar lembrar:
- O que é tri(x): vale 1–|x| para |x|<1 e zero fora.
- O que é rect(x): vale 1 para |x|≤½ e zero fora.
E também como fazer escalonamentos (t/T), deslocamentos (t–T) e inversões (t→–t). A partir daqui, a gente vai passo a passo criar cada gráfico.
Passo 2
Sinal (a): x(t)=A·tri(t/T).
- Definição: tri(t/T)= {1–|t/T|, se |t|<T; 0, caso contrário}.
- Então x(t) é um triângulo centrado em t=0, de base em t=–T até t=+T, e de altura A (pois em t=0 dá tri(0)=1, multiplicado por A).
- No papel o desenho sai assim:
- Em t=–T, x=0.
- Sobe linear até x(0)=A.
- Desce linear até t=+T, x=0.
Passo 3
Sinal (b): y(t)=A·tri(t/T)·rect(t/T–½).
- Primeiro, rect(t/T–½)=1 só quando |t/T–½|≤½, ou seja 0≤t/T≤1 ⇒ 0≤t≤T. Fora disso é zero.
- Então y(t) é o triângulo do item (a), porém “recortado” só no pedaço entre t=0 e t=T.
- Logo y(t)=A·(1–|t/T|) só para 0≤t≤T, e y(t)=0 em qualquer outra t.
- No gráfico: começa em t=0 com y(0)=A·(1–0)=A, decresce linear até y(T)=A·(1–1)=0, e é zero fora [0,T].
Passo 4
Sinal ©: z₁(t)=y(t–T).
- Trocar t por (t–T) desloca o gráfico de y(t) para a direita em T.
- Então onde y(t) estava ativo em [0,T], agora z₁(t) está ativo em [T,2T].
- E a forma dentro desse intervalo é a mesma rampa decrescente de A até zero.
Passo 5
Sinal (d): z₂(t)=y(–t).
- Trocar t por (–t) inverte o gráfico de y em relação ao eixo vertical.
- Originalmente y(t) existia em [0,T] caindo de A a 0. Agora z₂(t)=y(–t) existe em [–T,0], subindo de 0 (em t=–T) até A (em t=0).
Passo 6
Sinal (e): z₃(t)=y(T–t).
- Primeiro substituição t→T–t equivale a inverter e depois deslocar.
- A inversão y(–t) faz a rampa subir em [–T,0], e depois o “+T” desloca tudo pra direita.
- Resultado: z₃(t) tem suporte em [0, T], começando em 0 (em t=0), subindo até A (em t=T). É a rampa crescente.
Resposta
a) x(t)=A·tri(t/T): triângulo simétrico em –T a +T, pico A em t=0.
b) y(t)=A·tri(t/T)·rect(t/T–½): rampa decrescente de A (em t=0) a 0 (em t=T), zero fora de [0,T].
c) z₁(t)=y(t–T): mesma rampa do item (b) mas em [T,2T], descendo de A a 0.
d) z₂(t)=y(–t): rampa crescente de 0 (em t=–T) a A (em t=0), zero fora de [–T,0].
e) z₃(t)=y(T–t): rampa crescente de 0 (em t=0) a A (em t=T), zero fora de [0,T].
b) y(t)=A·tri(t/T)·rect(t/T–½): rampa decrescente de A (em t=0) a 0 (em t=T), zero fora de [0,T].
c) z₁(t)=y(t–T): mesma rampa do item (b) mas em [T,2T], descendo de A a 0.
d) z₂(t)=y(–t): rampa crescente de 0 (em t=–T) a A (em t=0), zero fora de [–T,0].
e) z₃(t)=y(T–t): rampa crescente de 0 (em t=0) a A (em t=T), zero fora de [0,T].