Represente graficamente os seguintes sinais:
a) z1(t)=y(t-T);
b) z2(t)=y(-t);
c) z3(t)=y(T-t);
d) ;
e) .

Passo 1

Beleza, a questão pede pra desenhar alguns sinais usando duas “funções-padrão” de processamento de sinais: a função triangular tri(·) e a função retangular rect(·). Vamos precisar lembrar:
  • O que é tri(x): vale 1–|x| para |x|<1 e zero fora.
  • O que é rect(x): vale 1 para |x|≤½ e zero fora.
    E também como fazer escalonamentos (t/T), deslocamentos (t–T) e inversões (t→–t). A partir daqui, a gente vai passo a passo criar cada gráfico.

Passo 2

Sinal (a): x(t)=A·tri(t/T).
  1. Definição: tri(t/T)= {1–|t/T|, se |t|<T; 0, caso contrário}.
  2. Então x(t) é um triângulo centrado em t=0, de base em t=–T até t=+T, e de altura A (pois em t=0 dá tri(0)=1, multiplicado por A).
  3. No papel o desenho sai assim:
    • Em t=–T, x=0.
    • Sobe linear até x(0)=A.
    • Desce linear até t=+T, x=0.

Passo 3

Sinal (b): y(t)=A·tri(t/T)·rect(t/T–½).
  1. Primeiro, rect(t/T–½)=1 só quando |t/T–½|≤½, ou seja 0≤t/T≤1 ⇒ 0≤t≤T. Fora disso é zero.
  2. Então y(t) é o triângulo do item (a), porém “recortado” só no pedaço entre t=0 e t=T.
  3. Logo y(t)=A·(1–|t/T|) só para 0≤t≤T, e y(t)=0 em qualquer outra t.
  4. No gráfico: começa em t=0 com y(0)=A·(1–0)=A, decresce linear até y(T)=A·(1–1)=0, e é zero fora [0,T].

Passo 4

Sinal ©: z₁(t)=y(t–T).
  1. Trocar t por (t–T) desloca o gráfico de y(t) para a direita em T.
  2. Então onde y(t) estava ativo em [0,T], agora z₁(t) está ativo em [T,2T].
  3. E a forma dentro desse intervalo é a mesma rampa decrescente de A até zero.

Passo 5

Sinal (d): z₂(t)=y(–t).
  1. Trocar t por (–t) inverte o gráfico de y em relação ao eixo vertical.
  2. Originalmente y(t) existia em [0,T] caindo de A a 0. Agora z₂(t)=y(–t) existe em [–T,0], subindo de 0 (em t=–T) até A (em t=0).

Passo 6

Sinal (e): z₃(t)=y(T–t).
  1. Primeiro substituição t→T–t equivale a inverter e depois deslocar.
  2. A inversão y(–t) faz a rampa subir em [–T,0], e depois o “+T” desloca tudo pra direita.
  3. Resultado: z₃(t) tem suporte em [0, T], começando em 0 (em t=0), subindo até A (em t=T). É a rampa crescente.

Resposta

a) x(t)=A·tri(t/T): triângulo simétrico em –T a +T, pico A em t=0.
b) y(t)=A·tri(t/T)·rect(t/T–½): rampa decrescente de A (em t=0) a 0 (em t=T), zero fora de [0,T].
c) z₁(t)=y(t–T): mesma rampa do item (b) mas em [T,2T], descendo de A a 0.
d) z₂(t)=y(–t): rampa crescente de 0 (em t=–T) a A (em t=0), zero fora de [–T,0].
e) z₃(t)=y(T–t): rampa crescente de 0 (em t=0) a A (em t=T), zero fora de [0,T].

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