1. O que é o método de D’Alembert? A qual EDP ele se aplica?

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas claras:
  1. “O que é o método de D’Alembert?” — isto é, descreva a ideia e a fórmula do método.
  2. “A qual EDP ele se aplica?” — indique qual equação diferencial parcial é resolvida por esse método.
Não há outros dados numéricos; a resposta deve explicar o método, derivá‑lo passo a passo e dizer a que PDE ele se aplica.

Passo 2

Qual é a PDE que vamos estudar (escreverei a forma padrão). Seja u=u(x,t) uma função de posição x\in\mathbb{R} e tempo t\ge 0. A equação de onda unidimensional homogênea é
u_{tt}=c^{2}u_{xx},
onde c>0 é a velocidade de propagação. Aqui u_{t} é a derivada parcial de u em relação a t e u_{x} é a derivada parcial em relação a x. A questão principal do método de D’Alembert é resolver essa equação (normalmente com condições iniciais como u(x,0)=\varphi(x) e u_{t}(x,0)=\psi(x)).

Passo 3

Ideia principal do método (explicação didática e intuitiva).
  • Observação física: pequenas perturbações numa corda sem atrito se propagam como ondas para a direita e para a esquerda com velocidade c. Então esperamos que a solução possa ser vista como soma de duas ondas viajantes.
  • Matemática: procuramos coordenadas que “sigam” essas ondas. Definimos as coordenadas características
\xi = x-ct,\qquad \eta = x+ct.
Essas coordenadas são constantes ao longo das retas x-ct= constante (ondas viajando para a direita) e x+ct= constante (ondas viajando para a esquerda). O truque é reescrever a PDE nessas variáveis e ver o que acontece.

Passo 4

Transformação das derivadas (passo técnico, feito devagar).
Tomamos u(x,t)=U(\xi,\eta) com \xi=x-ct e \eta=x+ct.
Usando regra da cadeia:
u_x = U_{\xi}\frac{\partial\xi}{\partial x}+U_{\eta}\frac{\partial\eta}{\partial x}=U_{\xi}+U_{\eta},
u_t = U_{\xi}\frac{\partial\xi}{\partial t}+U_{\eta}\frac{\partial\eta}{\partial t}=-cU_{\xi}+cU_{\eta}=c\,(U_{\eta}-U_{\xi}).
Agora derivamos novamente para obter u_{xx} e u_{tt}. Aplicando a regra da cadeia com cuidado (devagar):
u_{xx}=(U_{\xi}+U_{\eta})_x = U_{\xi\xi}\frac{\partial\xi}{\partial x}+U_{\xi\eta}\frac{\partial\eta}{\partial x}+U_{\eta\xi}\frac{\partial\xi}{\partial x}+U_{\eta\eta}\frac{\partial\eta}{\partial x}
como \partial\xi/\partial x=\partial\eta/\partial x=1 e U_{\xi\eta}=U_{\eta\xi}, obtemos
u_{xx}=U_{\xi\xi}+2U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}.
Para u_{tt}:
u_{tt}=c^{2}(U_{\eta}-U_{\xi})_t = c^{2}\big(-U_{\xi\xi}(-c)+U_{\xi\eta}c + U_{\eta\xi}(-c)+U_{\eta\eta}c\big)
fazendo de modo direto (ou reconhecendo simetria), o resultado limpo é
u_{tt}=c^{2}\big(U_{\xi\xi}-2U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}\big).
Agora substituímos na PDE u_{tt}=c^{2}u_{xx}. À esquerda temos c^{2}(U_{\xi\xi}-2U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}) e à direita c^{2}(U_{\xi\xi}+2U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}). Subtraindo dá
0 = u_{tt}-c^{2}u_{xx} = -4c^{2}U_{\xi\eta}.
Logo a PDE se reduz a
U_{\xi\eta}=0.

Passo 5

Resolver a equação U_{\xi\eta}=0 (passo simples, mas essencial).
  • A equação U_{\xi\eta}=0 diz que a derivada parcial de U_{\xi} em relação a \eta é zero, ou seja, U_{\xi} depende só de \xi.
  • Integramos: existe uma função F(\xi) tal que U_{\xi}(\xi,\eta)=F'(\xi). Integrando em \xi obtemos U(\xi,\eta)=F(\xi)+G(\eta), onde G é outra função arbitrária (a “constante” de integração pode depender de \eta).
    Portanto, em variáveis originais,
u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).

Passo 6

Interpretação física e significado da forma u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).
  • F(x-ct) é uma onda que mantém a forma e se desloca para a direita com velocidade c.
  • G(x+ct) é uma onda que mantém a forma e se desloca para a esquerda com velocidade c.
  • A solução geral é soma dessas duas ondas independentes — isto explica por que perturbacões se decompõem em componentes que vão para direita e esquerda.

Passo 7

Impor condições iniciais e obter a fórmula de D’Alembert (derivação passo a passo).
Suponha condições iniciais usuais
u(x,0)=\varphi(x),\qquad u_{t}(x,0)=\psi(x).
A partir de u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct) temos em t=0:
F(x)+G(x)=\varphi(x). \tag{1}
Derivando em t e avaliando em t=0:
u_{t}(x,t)= -cF'(x-ct)+cG'(x+ct)\implies -cF'(x)+cG'(x)=\psi(x). \tag{2}
Agora combinamos (1) e (2) para achar F e G em termos de \varphi,\psi. Uma forma elegante é construir os termos em x\pm ct que aparecem na solução final. Considere as quantidades
S:=\varphi(x+ct)+\varphi(x-ct)
e
I:=\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds.
Calcule S em termos de F,G:
S=F(x+ct)+G(x+ct)+F(x-ct)+G(x-ct).
Calcule I em termos de F,G usando (2) escrita como G'-F'=\psi/c:
I=\int_{x-ct}^{x+ct} \psi(s)\,ds = c\int_{x-ct}^{x+ct} \big(G'(s)-F'(s)\big)\,ds = c\big(G(x+ct)-G(x-ct)-F(x+ct)+F(x-ct)\big).
Defina A:=F(x-ct)+G(x+ct) (esta é precisamente u(x,t)). Observe que
S = A + B,\qquad \frac{1}{c}I = A - B,
onde B:=F(x+ct)+G(x-ct). Solvendo o sistema linear para A obtemos
A = \frac{1}{2}\Big(S + \frac{1}{c}I\Big).
Substituindo S e I de volta, encontramos a fórmula clássica de D’Alembert:
\boxed{\,u(x,t)=\dfrac{\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)}{2} \;+\; \dfrac{1}{2c}\displaystyle\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds\,.}
Essa é a solução da equação de onda unidimensional com as condições iniciais dadas.

Passo 8

Condições, limitações e extensões (prático para prova).
  • O método de D’Alembert resolve a equação de onda homogênea em uma linha inteira x\in\mathbb{R}. Para um domínio finito com condições de contorno (por exemplo uma corda fixa nas extremidades) é preciso adaptar (método das imagens, séries de Fourier, etc.).
  • Requisitos técnicos: \varphi e \psi devem ser suficientemente regulares (diferenciáveis conforme necessário) para que as derivadas existam e a solução seja clássica.
  • Extensões: para uma equação de onda com termo fonte u_{tt}=c^{2}u_{xx}+f(x,t) existe uma versão com o princípio de Duhamel que transforma o termo fonte numa integral temporal adicionada à fórmula de D’Alembert.
  • Resumo prático para prova: transforme para \xi,\eta, reduza a U_{\xi\eta}=0, escreva solução como soma de funções de \xi e \eta, imponha condições iniciais para obter a fórmula integral.

Passo 9

Exemplo simples para fixar (didático e concreto).
  • Se \psi(x)\equiv 0 (inicialmente sem velocidade), então
u(x,t)=\tfrac{1}{2}\big(\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\big).
Isto diz: a forma inicial \varphi se divide em duas metades idênticas que se deslocam em sentidos opostos.
  • Se \varphi(x)\equiv 0 e \psi é não nula, então
u(x,t)=\dfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds,
ou seja, a velocidade inicial gera uma onda cuja amplitude em (x,t) é a média (integral) das velocidades iniciais no intervalo que vai de x-ct a x+ct.

Passo 10

Resumo final, em linguagem direta e motivadora.
  • O método de D’Alembert é uma técnica de resolução da equação de onda 1D que usa as coordenadas características \xi=x-ct e \eta=x+ct para reduzir a PDE a uma equação muito simples U_{\xi\eta}=0, cuja solução é soma de duas funções arbitrárias. Impondo condições iniciais chega‑se à fórmula explícita de D’Alembert mostrada acima.
  • Isso é poderoso porque dá a solução explícita em termos das condições iniciais sem séries ou transformadas — ótimo para entender como as ondas se propagam.

Resposta

O método de D’Alembert é a técnica que resolve a equação de onda unidimensional homogênea transformando para as coordenadas características \xi=x-ct e \eta=x+ct, reduzindo a PDE a U_{\xi\eta}=0 e obtendo a solução como soma de duas ondas viajantes. A fórmula de D’Alembert para as condições iniciais u(x,0)=\varphi(x) e u_{t}(x,0)=\psi(x) é
u(x,t)=\dfrac{\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)}{2}+\dfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds.
Ele se aplica à equação de onda unidimensional
u_{tt}=c^{2}u_{xx}
(geralmente em \;x\in\mathbb{R}\;, domínio infinito).

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