O que é o método de D’Alembert? A qual EDP ele se aplica?
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas claras:
“O que é o método de D’Alembert?” — isto é, descreva a ideia e a fórmula do método.
“A qual EDP ele se aplica?” — indique qual equação diferencial parcial é resolvida por esse método.
Não há outros dados numéricos; a resposta deve explicar o método, derivá‑lo passo a passo e dizer a que PDE ele se aplica.
Passo 2
Qual é a PDE que vamos estudar (escreverei a forma padrão). Seja u=u(x,t) uma função de posição x\in\mathbb{R} e tempo t\ge 0. A equação de onda unidimensional homogênea é
u_{tt}=c^{2}u_{xx},
onde c>0 é a velocidade de propagação. Aqui u_{t} é a derivada parcial de u em relação a t e u_{x} é a derivada parcial em relação a x. A questão principal do método de D’Alembert é resolver essa equação (normalmente com condições iniciais como u(x,0)=\varphi(x) e u_{t}(x,0)=\psi(x)).
Passo 3
Ideia principal do método (explicação didática e intuitiva).
Observação física: pequenas perturbações numa corda sem atrito se propagam como ondas para a direita e para a esquerda com velocidade c. Então esperamos que a solução possa ser vista como soma de duas ondas viajantes.
Matemática: procuramos coordenadas que “sigam” essas ondas. Definimos as coordenadas características
\xi = x-ct,\qquad \eta = x+ct.
Essas coordenadas são constantes ao longo das retas x-ct= constante (ondas viajando para a direita) e x+ct= constante (ondas viajando para a esquerda). O truque é reescrever a PDE nessas variáveis e ver o que acontece.
Passo 4
Transformação das derivadas (passo técnico, feito devagar).
Tomamos u(x,t)=U(\xi,\eta) com \xi=x-ct e \eta=x+ct.
Usando regra da cadeia:
Agora substituímos na PDE u_{tt}=c^{2}u_{xx}. À esquerda temos c^{2}(U_{\xi\xi}-2U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}) e à direita c^{2}(U_{\xi\xi}+2U_{\xi\eta}+U_{\eta\eta}). Subtraindo dá
0 = u_{tt}-c^{2}u_{xx} = -4c^{2}U_{\xi\eta}.
Logo a PDE se reduz a
U_{\xi\eta}=0.
Passo 5
Resolver a equação U_{\xi\eta}=0 (passo simples, mas essencial).
A equação U_{\xi\eta}=0 diz que a derivada parcial de U_{\xi} em relação a \eta é zero, ou seja, U_{\xi} depende só de \xi.
Integramos: existe uma função F(\xi) tal que U_{\xi}(\xi,\eta)=F'(\xi). Integrando em \xi obtemos U(\xi,\eta)=F(\xi)+G(\eta), onde G é outra função arbitrária (a “constante” de integração pode depender de \eta).
Portanto, em variáveis originais,
u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).
Passo 6
Interpretação física e significado da forma u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).
F(x-ct) é uma onda que mantém a forma e se desloca para a direita com velocidade c.
G(x+ct) é uma onda que mantém a forma e se desloca para a esquerda com velocidade c.
A solução geral é soma dessas duas ondas independentes — isto explica por que perturbacões se decompõem em componentes que vão para direita e esquerda.
Passo 7
Impor condições iniciais e obter a fórmula de D’Alembert (derivação passo a passo).
Suponha condições iniciais usuais
Agora combinamos (1) e (2) para achar F e G em termos de \varphi,\psi. Uma forma elegante é construir os termos em x\pm ct que aparecem na solução final. Considere as quantidades
S:=\varphi(x+ct)+\varphi(x-ct)
e
I:=\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds.
Calcule S em termos de F,G:
S=F(x+ct)+G(x+ct)+F(x-ct)+G(x-ct).
Calcule I em termos de F,G usando (2) escrita como G'-F'=\psi/c:
Essa é a solução da equação de onda unidimensional com as condições iniciais dadas.
Passo 8
Condições, limitações e extensões (prático para prova).
O método de D’Alembert resolve a equação de onda homogênea em uma linha inteira x\in\mathbb{R}. Para um domínio finito com condições de contorno (por exemplo uma corda fixa nas extremidades) é preciso adaptar (método das imagens, séries de Fourier, etc.).
Requisitos técnicos: \varphi e \psi devem ser suficientemente regulares (diferenciáveis conforme necessário) para que as derivadas existam e a solução seja clássica.
Extensões: para uma equação de onda com termo fonte u_{tt}=c^{2}u_{xx}+f(x,t) existe uma versão com o princípio de Duhamel que transforma o termo fonte numa integral temporal adicionada à fórmula de D’Alembert.
Resumo prático para prova: transforme para \xi,\eta, reduza a U_{\xi\eta}=0, escreva solução como soma de funções de \xi e \eta, imponha condições iniciais para obter a fórmula integral.
Passo 9
Exemplo simples para fixar (didático e concreto).
Se \psi(x)\equiv 0 (inicialmente sem velocidade), então
ou seja, a velocidade inicial gera uma onda cuja amplitude em (x,t) é a média (integral) das velocidades iniciais no intervalo que vai de x-ct a x+ct.
Passo 10
Resumo final, em linguagem direta e motivadora.
O método de D’Alembert é uma técnica de resolução da equação de onda 1D que usa as coordenadas características \xi=x-ct e \eta=x+ct para reduzir a PDE a uma equação muito simples U_{\xi\eta}=0, cuja solução é soma de duas funções arbitrárias. Impondo condições iniciais chega‑se à fórmula explícita de D’Alembert mostrada acima.
Isso é poderoso porque dá a solução explícita em termos das condições iniciais sem séries ou transformadas — ótimo para entender como as ondas se propagam.
Resposta
O método de D’Alembert é a técnica que resolve a equação de onda unidimensional homogênea transformando para as coordenadas características \xi=x-ct e \eta=x+ct, reduzindo a PDE a U_{\xi\eta}=0 e obtendo a solução como soma de duas ondas viajantes. A fórmula de D’Alembert para as condições iniciais u(x,0)=\varphi(x) e u_{t}(x,0)=\psi(x) é