1. O que você sabe sobre os tipos de EDPs? E sobre a transformação para as formas normais?

Passo 1

Você perguntou duas coisas: (1) quais são os tipos principais de EDPs (equações diferenciais parciais) e (2) como se faz a transformação para as formas normais (canônicas).\n
O que eu tenho que fazer pra você: explicar, passo a passo, os critérios de classificação (com exemplos) e ensinar o procedimento prático para transformar uma EDP de segunda ordem em duas variáveis para a sua forma normal (eliminar termo misto), mostrando também como proceder em exercícios de prova.

Passo 2

Primeiro: noções básicas que aparecem sempre — ordem e linearidade. Vou explicar cada termo devagar, com exemplos simples.
  • Ordem da EDP: é a maior ordem de derivada presente. Ex.: u_{xx}+u_{yy}=0 é de segunda ordem porque aparecem derivadas de segunda ordem.
  • Linearidade:
    • EDP linear: todas as derivadas aparecem multiplicadas por funções que não dependem de u. Ex.: \;a(x,y)u_{xx}+b(x,y)u_x+c(x,y)u=g(x,y).
    • Semilinear: derivadas de maior ordem aparecem linearmente, mas termos de ordem inferior podem ser não lineares em u. Ex.: u_{xx}+ \sin(u)=0.
    • Quasilinear: as derivadas de maior ordem aparecem linearmente, mas os coeficientes podem depender de u. Ex.: a(u,x,y)u_{xx}+ \dots =0.
    • Totalmente não linear: coeficientes e termos envolvem não linearidade nas derivadas de maior ordem. Ex.: \det(D^2 u)=f.
  • Homogênea vs inhomogênea: homogênea se o lado direito é zero ( =0), caso contrário inhomogênea ( =g).
  • Coeficientes constantes vs variáveis: facilita muito ter coeficientes constantes.

Passo 3

Agora a classificação central que cai em prova (para EDPs de segunda ordem em duas variáveis). Vou escrever a forma geral e explicar cada termo:
  • Forma geral (segunda ordem, linear, com coeficientes):
a(x,y)\,u_{xx} + 2b(x,y)\,u_{xy} + c(x,y)\,u_{yy} + d(x,y)\,u_x + e(x,y)\,u_y + f(x,y)\,u = g(x,y).
  • Definição do discriminante:
D(x,y) = b(x,y)^2 - a(x,y)\,c(x,y).
Isso é análogo ao discriminante de uma quadrática e decide o tipo da EDP ponto a ponto.
  • Classificação (em pontos onde a,c,b são definidos):
    • Elíptica se \;D<0. Exemplo clássico: Laplace \;u_{xx}+u_{yy}=0 (aqui a=1,b=0,c=1 e D=-1<0). Fenômenos estacionários (potencial, equilíbrio).
    • Parabólica se \;D=0. Exemplo: equação do calor unidimensional escrita como EDP em variáveis (x,t): \;u_t - k u_{xx}=0 (quando reescrita de forma certa aparece D=0). Fenômenos de difusão/relaxação.
    • Hiperbólica se \;D>0. Exemplo: equação da onda \;u_{tt}-c^2 u_{xx}=0 (em (t,x) tem sinal que dá D>0). Fenômenos de propagação de sinais/ondas.
Dica mental: elliptic → sem características reais (problemas estáveis, requisitos de contorno), hyperbolic → informação se propaga ao longo de características (necessita condições iniciais), parabolic → mistura dos dois (tempo + suavização).

Passo 4

Agora vem a parte prática: como transformar a EDP em duas variáveis para sua forma normal (ou canônica), isto é, eliminar o termo misto u_{xy} ou reduzir a forma para uma das formas padrão. O objetivo é sempre simplificar os termos de segunda ordem.
Passos do método (resumido, depois eu explico cada etapa):
  1. Escreva a parte dos segundos derivadas:
a\,u_{xx}+2b\,u_{xy}+c\,u_{yy}.
  1. Considere uma mudança de variáveis suave \xi=\xi(x,y), \eta=\eta(x,y) e use a regra da cadeia para reescrever derivadas.
  2. Para escolher \xi,\eta que simplifiquem, resolvemos a equação das características (outra maneira: achamos as direções que anulam a forma quadrática associada):
a\,(dy)^2 - 2b\,dx\,dy + c\,(dx)^2 = 0.
Dividindo por (dx)^2 (supondo dx\neq0) obtemos para a inclinação \lambda=\dfrac{dy}{dx} a quadrática
a\lambda^2 - 2b\lambda + c = 0.
As raízes \lambda_{1},\lambda_{2} guiam a escolha de \xi,\eta.
Explicação intuitiva: a forma quadrática a\,\xi_x^2 + 2b\,\xi_x\xi_y + c\,\xi_y^2 corresponde ao coeficiente do termo u_{\xi\xi}. Ao escolher \xi constante ao longo de uma família de curvas que satisfaz a equação acima, esse coeficiente fica zero. Fazendo isso para duas famílias (quando possível) eliminamos os termos u_{\xi\xi} e u_{\eta\eta}, sobrando só u_{\xi\eta} (caso hiperbólico), ou reduzimos conforme o caso.

Passo 5

Resolvendo a equação característica e escolhendo \xi,\eta na prática:
  • Encontre as inclinações:
\lambda_{1,2} = \frac{b \pm \sqrt{b^2-ac}}{a}.
(esta fórmula vem de resolver a\lambda^2-2b\lambda+c=0 e é equivalente a outras formas). Observação: se a=0 trate como caso degenerado — mas a ideia de caracteristicas continua.
  • Escolha as novas variáveis (uma escolha padrão quando as raízes são reais e finitas):
\xi = y - \lambda_1 x,\qquad \eta = y - \lambda_2 x.
Essas funções são constantes ao longo das curvas y=\lambda_i x + \text{const}.
  • Use a regra da cadeia para escrever as derivadas (esquema):
u_x = u_\xi \xi_x + u_\eta \eta_x,\qquad u_y = u_\xi \xi_y + u_\eta \eta_y,
e para as segundas derivadas:
u_{xx},\; u_{xy},\; u_{yy}
são combinações lineares de u_{\xi\xi},u_{\xi\eta},u_{\eta\eta} com coeficientes formados por \xi_x,\xi_y,\eta_x,\eta_y. Não preciso escrever todas as fórmulas completas aqui agora, mas em prova você vai montar essas expressões e reconhecer os coeficientes.
  • O porquê dá certo (argumento rápido): escolher \xi tal que
a(\xi_x)^2 + 2b\,\xi_x\xi_y + c(\xi_y)^2 = 0
faz com que o coeficiente de u_{\xi\xi} seja zero. Se escolher \eta análogo, o coeficiente de u_{\eta\eta} também é zero. Para D>0 você consegue duas famílias reais e obtém no fim uma equação cujo termo de segunda ordem dominante é proporcial a u_{\xi\eta}. Para D=0 tem uma raiz repetida; só uma família, a equação reduz a uma forma com apenas um segundo derivada. Para D<0 não existem raízes reais e você transforma para soma de segundas derivadas (tipo laplaciano) — em geral usando combinações lineares que envolvem funções reais; o resultado será algo como u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta} (pelo menos up to escala).

Passo 6

Formas canônicas que você deve saber de cor (para EDPs lineares de segunda ordem em 2 variáveis, depois de mudança adequada):
  • Hiperbólica ( D>0): forma canônica
u_{\xi\eta} + \text{(termos de ordem inferior)} = \tilde g(\xi,\eta).
Isto torna claro o caráter de propagação ao longo das curvas \xi=\text{const} e \eta=\text{const}.
  • Parabólica ( D=0): forma canônica
u_{\xi\xi} + \text{(termos de ordem inferior)} = \tilde g(\xi,\eta).
Aqui só aparece uma derivada de segunda ordem efetiva.
  • Elíptica ( D<0): forma canônica (após escolher coordenadas adequadas e normalizar)
u_{\xi\xi} + u_{\eta\eta} + \text{(termos de ordem inferior)} = \tilde g(\xi,\eta).
A equação lembra o laplaciano; não existem características reais.

Passo 7

Um exemplo rápido e prático (mostro só os cálculos essenciais para você entender o procedimento, sem a longa álgebra das cadeias):
Considere a EDP
2u_{xx}+3u_{xy}-u_{yy}=0.
  • Identificamos a=2, 2b=3\Rightarrow b=\tfrac{3}{2}, c=-1.
  • Calculamos o discriminante:
D = b^2 - ac = \left(\tfrac{3}{2}\right)^2 - 2\cdot(-1) = \tfrac{9}{4}+2 = \tfrac{17}{4} > 0,
logo é hiperbólica.
  • Raízes (inclinações das características):
\lambda_{1,2}=\frac{b\pm\sqrt{b^2-ac}}{a}=\frac{\tfrac{3}{2}\pm\tfrac{\sqrt{17}}{2}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}.
  • Escolhemos
\xi=y-\lambda_1 x,\qquad \eta=y-\lambda_2 x.
Com essa escolha (aplicando regra da cadeia) a parte de segunda ordem reduz-se a uma constante vezes u_{\xi\eta}. Normalizando a constante, a forma canônica é
u_{\xi\eta}=0
(ou seja, a equação mais simples equivalente). Isso mostra o passo a passo típico que você terá de fazer em prova: identificar a,b,c, calcular D, achar \lambda, definir \xi,\eta e substituir.

Passo 8

Breve comentário sobre EDPs de primeira ordem e método de características (útil em provas também):
  • Uma EDP de primeira ordem quasilinear tem forma
a(x,y,u)\,u_x + b(x,y,u)\,u_y = c(x,y,u).
  • Método de características: resolvemos o sistema de ODEs
\frac{dx}{ds}=a(x,y,u),\qquad \frac{dy}{ds}=b(x,y,u),\qquad \frac{du}{ds}=c(x,y,u),
encontramos curvas ao longo das quais u varia segundo uma ODE. Isso transforma a EDP em um problema ODE ao longo das curvas características.

Passo 9

Regras práticas e dicas para prova (checklist rápido):
  • Sempre escreva a parte quadrática dos segundos derivados e identifique a,2b,c.
  • Calcule D=b^2-ac e classifique (elíptica/parabólica/hiperbólica).
  • Encontre \lambda resolvendo a\lambda^2-2b\lambda+c=0.
  • Escolha \xi,\eta constantes nas famílias de características (por exemplo \xi=y-\lambda_1 x).
  • Use regra da cadeia para reescrever derivadas; verifique que os coeficientes de u_{\xi\xi} ou u_{\eta\eta} se anulam conforme esperado.
  • Normaliza a equação final (divida por constante) e transfira as condições de contorno/iniciais para as novas coordenadas.
  • Lembre: elípticas pedem condições de contorno; hiperbólicas pedem dados iniciais tipo Cauchy; parabólicas pedem condição inicial e contorno.

Resposta

Tipos principais: elíptica ( D=b^2-ac<0), parabólica ( D=0), hiperbólica ( D>0); também classifica-se por ordem (1ª, 2ª, …) e por linearidade (linear, semilinear, quasilinear, totalmente não linear).\n
Transformação para formas normais (segunda ordem, 2D): calcular D=b^2-ac; resolver a\lambda^2-2b\lambda+c=0 para \lambda; escolher \xi,\eta constantes ao longo das características (ex.: \xi=y-\lambda_1 x,\\ \eta=y-\lambda_2 x); usar regra da cadeia para reescrever derivadas e obter as formas canônicas — hiperbólica u_{\xi\eta}+\dots, parabólica u_{\xi\xi}+\dots, elíptica u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta}+\dots.

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